Комплексные числа

Август 30, 2022

Главная
Математика
Комплексные числа

Содержание

2. Поле комплексных чисел Поле действительных чисел (R) не является алгебраически замкнутым полем(т.е. многочлены с действительными коэффициентами
3. Наша цель – построение расширения поля С, в котором есть такой элемент i, что i2=-1 Построение
4. Для С характерно: Для a, b, c, d равенство a+bi=c+di выполняется тогда и только тогда, когда
5. Геометрическая интерпретация a b (a,b) Z=a+bi Действительная ось Мнимая ось
6. Сопряжение Число z=a-bi называется сопряжённым числу z=a+bi b -b a a+bi a-bi
7. Модуль комплексных чисел Для комплексного числа z=a+bi определим модуль: |z|= √zz = √a2+b2 0 b a
8. Тригонометрическая форма z=a+bi=r(cosφ+isinφ), r=√a2+b2 cosφ=a/√a2+b2 sinφ=b/√a2+b2 0 x y r rcosφ rsinφ Тригонометрическая форма комплексного числа
9. Умножение чисел в тригонометрической форме Для чисел: z1=r1(cosφ1+isinφ1), z2=r2(cosφ2+isinφ2) верно: z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)) Следствие: z1/z2=r1/r2(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2))
10. Формула Муавра (r(cosφ+isinφ))n=rn(cos(nφ)+isin(nφ))
11. Извлечение корня n-ой степени wk=n√r (cos(φ+2πk)/n+isin(φ+2πk)/n)
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Поле комплексных чисел
Поле действительных чисел (R) не является алгебраически замкнутым полем(т.е.

многочлены с действительными коэффициентами могут не иметь действительных корней).
Пример:
Х2+1=0

Слайд 3

Наша цель – построение расширения поля С, в котором есть такой

элемент i, что
i2=-1
Построение поля С окажется алгебраически замкнутым(алгебраическим замыканием поля С)

Слайд 4

Для С характерно:
Для a, b, c, d равенство a+bi=c+di выполняется тогда

и только тогда, когда a=c, b=d
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
(a+bi)/(с+di)=(a+bi)(c-di)/(c2+d2)

Слайд 5

Геометрическая интерпретация
a
b
(a,b)
Z=a+bi
Действительная ось
Мнимая ось

Слайд 6

Сопряжение
Число z=a-bi называется сопряжённым числу z=a+bi
b
-b
a
a+bi
a-bi

Слайд 7

Модуль комплексных чисел
Для комплексного числа z=a+bi определим модуль:
|z|= √zz = √a2+b2
0
b
a
Z=a+bi
r=|z|

Слайд 8

Тригонометрическая форма
z=a+bi=r(cosφ+isinφ), r=√a2+b2
cosφ=a/√a2+b2
sinφ=b/√a2+b2
0
x
y
r
rcosφ
rsinφ
Тригонометрическая форма комплексного числа

единственна

Слайд 9

Умножение чисел в тригонометрической форме
Для чисел: z1=r1(cosφ1+isinφ1), z2=r2(cosφ2+isinφ2)
верно: z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))
Следствие: z1/z2=r1/r2(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2))

Слайд 10

Формула Муавра
(r(cosφ+isinφ))n=rn(cos(nφ)+isin(nφ))

Слайд 11

Извлечение корня n-ой степени
wk=n√r (cos(φ+2πk)/n+isin(φ+2πk)/n)