Лекция 05. Основные понятия проективной геометрии

1. Понятие группы преобразований

Умножение преобразований
Некоторые преобразования можно составить из нескольких других.

Умножение преобразований
Некоторые преобразования можно составить из нескольких других.
Пример. Винтовые движения составляются

Умножение преобразований
Некоторые преобразования можно составить из нескольких других.
Пример. Винтовые движения составляются

Пусть есть некоторая совокупность преобразований с операцией умножения. Она обладает такими свойствами:

Пусть есть некоторая совокупность преобразований с операцией умножения. Она обладает такими свойствами:
1.

Пусть есть некоторая совокупность преобразований с операцией умножения. Она обладает такими свойствами:
1.

Пусть есть некоторая совокупность преобразований с операцией умножения. Она обладает такими свойствами:
1.

Пусть есть некоторая совокупность преобразований с операцией умножения. Она обладает такими свойствами:
1.

Таким образом, всякая совокупность взаимно однозначных преобразований множества М, обладающая этими свойствами, называется группой преобразований множества

Таким образом, всякая совокупность взаимно однозначных преобразований множества М, обладающая этими свойствами, называется группой преобразований множества

Пример

Пусть есть преобразования: А – поворот плоскости на 90° вокруг начала О;

Пример

По определению, имеем:
O(AB) = (OA)B = OB = M

А – поворот
В

Пример

По определению, имеем:
O(AB) = (OA)B = OB = M
O(BA) = (OB)A

Пример

По определению, имеем:
O(AB) = (OA)B = OB = M
O(BA) = (OB)A

Пример

Выясним геометрическую природу ВА. Рассмотрим точку Р. Имеем:
P(BA) = (PB)A =

Пример

Выясним геометрическую природу ВА. Рассмотрим точку Р. Имеем:
P(BA) = (PB)A =

Пример

Аналогично исследуем АВ. Рассмотрим точку Q. Имеем:
Q(AB) = (QA)B = PB =

Пример

Аналогично исследуем АВ. Рассмотрим точку Q. Имеем:
Q(AB) = (QA)B = PB =

2. Группа проективных преобразований

В пространстве заданы две плоскости – π и π‘. Их взаимная

В пространстве заданы две плоскости – π и π'. Их взаимная

В пространстве заданы две плоскости – π и π‘. Их взаимная

Аналогично выполняем подобным же образом параллельную проекцию.
При этом предполагаем,
что проектирующие прямые параллельны между собой.

Точно так же определяется проекция прямой или кривой линии l в плоскости π

Всякое отображение одной фигуры на другую, которое получается посредством проектирования (центрального или параллельного) или же

Замечание
Если две фигуры связаны только одним проектированием, то говорят,
что они перспективны.

Замечание
Если две фигуры связаны только одним проектированием, то говорят,
что они перспективны.
Таким

Замечание
Если две фигуры связаны только одним проектированием, то говорят,
что они перспективны.
Таким

Проективная геометрия плоскости или прямой составляется из системы геометрических теорем, сохраняющихся при произвольных проективных преобразованиях

Проективной геометрии противопоставляется метрическая геометрия, которая понимается как система теорем, устанавливающих связи между величинами в рассматриваемых фигурах, инвариантные только относительно класса

Cформулируем некоторые проективные свойства.

Точка проектируется в точку.

Точка проектируется в точку.
Прямая линия проектируется в прямую.

Точка проектируется в точку.
Прямая линия проектируется в прямую.
Покажем это.

π

π'

Точка проектируется в точку.
Прямая линия проектируется в прямую.
Покажем это. Если прямая l

Если точка A и прямая l инцидентны, то точка A' и

Если точка A и прямая l инцидентны, то точка A' и

Следствия.

Если три точки (или более) коллинеарны, т.е. инцидентны с одной и

Если три точки (или более) коллинеарны, т.е. инцидентны с одной и

Если три точки (или более) коллинеарны, т.е. инцидентны с одной и

Итак, инцидентность, коллинеарность, конкуррентность являются проективными свойствами (инвариантными относительно проективных преобразований).

Итак, инцидентность, коллинеарность, конкуррентность являются проективными свойствами (инвариантными относительно проективных преобразований).
Величины отрезков

Пример

Равнобедренные или равносторонние треугольники могут спроектироваться на треугольники с тремя