Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. (Семинар 34)

y’+P(x)y=Q(x)

y,y’

Если функция , то уравнение (1) принимает вид (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть (3)

Q(x)=0

y’+P(x)y=0

Для решения неоднородного линейного уравнения (1) применяем так называемый метод вариации произвольной постоянной.
Этот метод состоит в том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, то есть соотношение (3).

Затем, полагая в этом соотношении величину С функцией от х, ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3).

y, y’,

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде

Для решения линейного уравнения (1) можно также применить подстановку (4) , где u, v – функции от х.

y=uv

Тогда уравнение (1) примет вид:

[u’+P(x)u]v+v’u=Q(x)

(5)

Если потребовать, чтобы (6), то из (6) найдем u, затем из (5) найдем v, а следовательно, из (4) найдем y.

u’+P(x)u=0

Можно также непосредственно применять подстановку y=uv, или метод вариации произвольной постоянной.

Примеры с решениями

Решить уравнение

Решение.

Замена y=uv.

Далее решаем систему уравнений:

, то есть в нашем случае

Соответствующее однородное уравнение есть .

Решая его, получим .

Считая С функцией от х, дифференцируя, находим .

Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

Подставляя это выражение в уравнение (*), получим:

Следовательно, общее решение получим в виде:

Для этого интегрируем сначала соответствующее линейное однородное уравнение , решение которого .

Далее, ищем решение

исходного уравнения Бернулли, полагая

Подстановка y, y’ в исходное уравнение дает

Интегрируем полученное уравнение: