Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Содержание

2. Если имеет место равенство где - постоянные, не все равные нулю, то говорят, что выражается линейно
3. n функций называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные.
4. Замечание Если функции линейно зависимы, то найдутся постоянные С1, С2,…,Сn не все равные нулю, такие, что
5. Пример 1. Например, функции линейно зависимые, так как при имеет место тождество:
6. Пример 2. Например, функции линейно независимые, так как ни при каких одновременно не равных нулю, выражение
7. Пример 3. Например, функции линейно независимые, так как ни при каких одновременно не равных нулю, выражение
8. Теорема Если функции у1, у2,…, уn являются линейно независимыми решениями уравнения то его общее решение есть
9. Нахождение общего решения ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. 1. Составляем соответствующее характеристическое уравнение: 2. Находим
10. 3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения: а) каждому действительному однократному корню k соответствует
11. с) каждому действительному корню кратности r соответствует r линейно независимых частных решений d) каждой паре комплексных
12. 4. Найдя n линейно независимых частных решений у1, у2, …, уn, строим общее решение данного линейного
13. Пример 1. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ. Общее решение:
14. Пример 2. Решить ДУ: Решение. Характеристическое уравнение: Ответ.
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Если имеет место равенство
где - постоянные, не все равные нулю, то говорят,

что выражается линейно через функции

Слайд 3

n функций
называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не

выражается через остальные.

Слайд 4

Замечание
Если функции
линейно зависимы, то найдутся постоянные С1, С2,…,Сn не все

равные нулю, такие, что
будет выполняться тождество

Слайд 5

Пример 1.

Например, функции

линейно зависимые, так как при
имеет место тождество:

Слайд 6

Пример 2.

Например, функции

линейно независимые, так как ни при каких
одновременно

не равных нулю, выражение не равно нулю:

Слайд 7

Пример 3.

Например, функции

линейно независимые, так как ни при каких
одновременно не

равных нулю, выражение не равно нулю:

Слайд 8

Теорема
Если функции у1, у2,…, уn являются линейно независимыми решениями уравнения
то его

общее решение есть
где С1, С2,…, Сn- произвольные постоянные.

Слайд 9

Нахождение общего решения ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
1. Составляем соответствующее характеристическое

уравнение:

2. Находим корни характеристического уравнения: k1, k2, …, k n

Слайд 10

3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения:
а) каждому действительному однократному

корню k соответствует частное решение
b) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствует два частных решения и

Слайд 11

с) каждому действительному корню кратности r соответствует r линейно независимых частных

решений
d) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности r соответствуют 2r частных решений:
Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т.е. столько , каков порядок данного линейного ДУ)

Слайд 12

4. Найдя n линейно независимых частных решений у1, у2, …, уn, строим

общее решение данного линейного уравнения:
где С1, С2, …, Сn – произвольные постоянные.

Слайд 13

Пример 1. Решить ДУ:
Решение. Характеристическое уравнение:
Ответ. Общее решение:

Слайд 14

Пример 2. Решить ДУ:
Решение. Характеристическое уравнение:
Ответ.