Логическая функция F

¬z). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

∨ w) ∧ (y ∨ ¬w). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.

и прямоугольнику соответственно. На схеме цифрами обозначены непересекающиеся области. Напишите через запятую в порядке возрастания номера областей, в которых будет истинным выражение:
(B and not C) or C and (A ↔ B)

из всех возможных элементов, обладающих данным признаком. Обозначим буквой Е основное или универсальное множество т.е. А U Е = Е; А∩Е =А
Пересечение множеств. A ∩ B = {х | х ∈ A и х ∈ B}
Объединение множеств A ∪ B = {х | х ∈ A или х ∈ B}.
Разность A \ B = {х | х ∈ A и х ∉ B}
Дополнение E\A={x| x∈E , x∉A}.
пересечение множеств соответствует умножению логических величин, а объединение – логическому сложению;
пустое множество ∅ – это множество, не содержащее ни одного элемента, оно играет роль нуля в теории множеств;
универсальное множество играет роль логической единицы;
пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A + X = 1; в этом случае множество A должно включать дополнение X , Amin=X
пусть требуется выбрать множество A так, чтобы выполнялось равенство A+X=1 , в этом случае множество A должно включать дополнение X , Amax=X

и Q = [22, 62]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ P) → (x ∉ Q) ) → (x ∉ А)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
[3,14] 2) [23,32] 3) [45,54] 4) [15,45]
Решение – 1 способ:
Построим таблицу истинности для данной формулы:

По таблице видно, что отрезок А должен целиком помещается внутри отрезка [22,42].
Правильный ответ – 2.

(x ∉ Q) ) → (x ∉ А) и получим:
(x ∈ P) л (x ∈ Q) V (x ∉ А)

х

2

62

42

22

Верный ответ —2 (отрезок [23,32])

(x ∈ P)

(x ∈ Q)

(x ∈ P) л (x ∈ Q)

10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна
1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17]

 Задание 10: На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15],
R = [35, 50], Выберите такой отрезок A, что формула
( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R)) тождественно истинна
1) [5, 20] 2) [3, 12] 3) [3, 7] 4) [120, 130]

Q = [40, 77].
Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула
(x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ ¬ (x ∈ А)) → ¬ (x ∈ Р))
истинна при любом значении переменной х, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Q = (21, 55].
Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула ( (x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q) ) → ¬ (x ∈ A) истинна при любом значении переменной х, т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Q = [14;23]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула
((x ∈ P) (x ∈ Q)) →(x ∈ А)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

{2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

- Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 }. Известно, что выражение
((x ∈ A) → ¬(x ∈ P)) ∧ (¬(x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула
(¬ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 21)) → ¬ДЕЛ(x, 14)
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула
(¬ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 15)) → (¬ДЕЛ(x, 18) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула
ДЕЛ(x, A) → (ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 34) ∧ ДЕЛ(x, 51))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

(x2 ≤ 64) ) ∧ ( (x2 ≤ 25) → (x ∈ A) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при всех вещественных значениях переменной x). Какую наименьшую длину может иметь отрезок A?
Решение:
заметим, что здесь два условия объединяются с помощью логической операции «И»:
(x ∈ A) → (x2 ≤ 64)
(x2 ≤ 25) → (x ∈ A)
рассмотрим первое условие; чтобы импликация была истинна, при истинной левой части (посылке) вторая часть (следствие) тоже должна быть истинна
это значит, что если x принадлежит отрезку A, должно выполняться условие x2 ≤ 64, то есть
| x | ≤ 8, поэтому отрезок A должен целиком содержаться внутри отрезка [–8; 8]
теперь рассмотрим второе условие: если x2 ≤ 25, то есть если | x | ≤ 5, то такой x должен принадлежать отрезку A
это значит, что весь отрезок [–5; 5] должен находиться внутри A, длина этого отрезка – 10.
Ответ: 10.

(x⋅x ≤ A) ) ∧ ( (y⋅y ≤ A) → (y ≤ 9) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?
(x > 9) + (x⋅x ≤ A)=1
(y⋅y > A) + (y ≤ 9) =1
Перейдём к числовой прямой. Чтобы формула была истинной, каждая записанная выше сумма должна закрывать всю ось. Для первого выражения это будет выглядеть так:
Интервал от 10 и далее закрывает неравенство x > 9, а интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство x⋅x ≤ A. И поскольку х на этом интервале не превышает 9, выражение x⋅x ≤ A будет истинным уже при А=81
Аналогично для второй суммы:
интервал от 0 до 9 включительно закрывает неравенство y ≤ 9, а интервал от 10 и далее закроет неравенство y⋅y > A. И поскольку значения у начнутся здесь с 10, а y⋅y =100, то выражение гарантированно будет истинным, если А будет меньше 100, то есть, не будет превышать 99.
Ответ: 99.

(x⋅x ≤ A) ) ∧ ( (y⋅y ≤ A) → (y ≤ 15) )
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных значениях переменных x и y)?

Для какого наименьшего целого числа А формула    (y + 5x <= 34) → ((y - x > 4) ∨ (y <= A))   тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

< A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 30)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

2. Укажите наименьшее целое значение А, при котором выражение
(y + 2x < A) ∨ (3y +2x > 120) ∨ (3y – x > 30)
истинно для любых целых положительных значений x и y.

= 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула
x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & А ≠ 0)
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
Введем обозначения:
x & 29 ≠ 0 -B
x & 12 ≠ 0 -C
x & А ≠ 0 -A
Преобразуем выражение по законам алгебры логики: B → (¬ C → A) = ¬ B+ C+ A =1 A= ¬ (¬ B+C)=B ∧ ¬C
Запишем число 29 в двоичной системе счисления:
2910 = 111012.
1210 = 011002, инверсия 1210 = 100112
B ∧ ¬ C = 111012.
100112
A= 10001
двоичная запись искомого числа А должна содержать единичные биты в нулевом и четвертом разрядах (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля).
Тем самым, наименьшее А = 100012 = 1710.

≠ 0) ∨ (x & 45 ≠ 0)) → ((x & 17 = 0) → (x & A ≠ 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?
Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
( (x & 20 ≠ 0) ∨ (x & 55 ≠ 0)) → ((x & 7 = 0) → (x & A ≠ 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?
Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение
( (x & 26 ≠ 0) ∨ (x & 13 ≠ 0)) → ((x & 24 = 0) → (x & A ≠ 0))
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?