Математические методы моделирования информационных процессов и систем. (Лекция 2)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Математические методы моделирования информационных процессов и систем. (Лекция 2)

Содержание

2. Основные этапы построения математической модели: составляется описание функционирования системы в целом; составляется перечень подсистем и элементов
3. Требования к математической модели: Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером поставленной задачи: "Хорошая" модель
4. Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью
5. Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на ее выходе, исследователь получает возможность
6. Согласно (2.1), выходной процесс полностью определяется входным процессом и начальным состоянием и не зависит от того,
7. Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать прогнозирование процесса функционирования на всем интервале функционирования T (множество
8. Системные свойства: 1). Если интервал функционирования системы Т = [] представляет отрезок оси действительных чисел, заданный
9. Общесистемная и системные модели функционирования (в дальнейшем термин «модель функционирования» для краткости может заменяться термином «модель»
10. Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели функционирования системы определяются процессом реализации системотехнической цепочки
11. Классификация системных моделей MNLCP - легко мат.описание MNLCP - нет адекватного мат.описания (трудно) Инверсия (N) –
12. Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые присущи всем или достаточно широкому
13. Модели данных Сетевая модель В сетевой модели основным внутренним ограничением является требование функциональности связей, т. е.
14. Сетевая модель: отношения "один:много" иерархической модели иногда приводит к дублированию объектов, которые имеют связи типа "многие
15. Жительство в групповом отношении может быть обязательным и необязательным, (т.е. запись может или не может существовать
16. Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы). Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве
17. Пусть имеем уравнение: уравнение «вход-выход» (1)
18. Решение уравнения (1) зависит от K(t), от начальных условий . Эти координаты определяют начальное состояние системы.
19. (3) – уравнение в пространстве состояний z – в-р столбец переменного состояния
20. , необходимое условие - матрица коэффициентов координат состояния
21. - матрица коэффициентов входных воздействий - некоторые числовые матрицы Сопоставляя (2) и (3) получим числовые матрицы
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные этапы построения математической модели:
составляется описание функционирования системы в целом;
составляется перечень

подсистем и элементов с описанием их функционирования, характеристик и начальных условий, а также взаимодействия между собой;
определяется перечень воздействующих на систему внешних факторов и их характеристик;
выбираются показатели эффективности системы, т.е. такие числовые характеристики системы, которые определяют степень соответствия системы ее назначению;
составляется формальная математическая модель системы;
составляется машинная математическая модель, пригодная для исследования системы на ЭВМ.

Слайд 3

Требования к математической модели:
Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером

поставленной задачи:
"Хорошая" модель должна быть:
целенаправленной;
простой и понятной пользователю;
достаточной с точки зрения возможностей решения поставленной задачи;
удобной в обращении и управлении;
надежной в смысле защиты от абсурдных ответов;
допускающей постепенные изменения в том смысле, что, будучи вначале простой, она при взаимодействии с пользователями может становиться более сложной.

Слайд 4

Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений

внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели ее качества. Что касается точности модели, то ее уровень должен обеспечивать достоверное сравнительное оценивание и ранжирование по уровню качества альтернативных вариантов
В основе изучения и моделирования процессов функционирования технических систем всегда лежит эксперимент - реальный или логический. Суть реального эксперимента состоит в непосредственном изучении конкретного физического объекта. В ходе логического эксперимента свойства объекта исследуются не на самом объекте, а с помощью его математической или содержательной (словесной) модели, изоморфной объекту с точки зрения изучаемых эксперименте свойств.

Слайд 5

Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на

ее выходе, исследователь получает возможность установить и записать математически существующую между ними связь в виде уравнения, связывающего для каждого интервала времени значения входных и выходных воздействий и потому называемого уравнением «вход-выход». Кроме того, для адекватного отражения связи между входом и выходом системы в системотехнике вводится понятие «состояние». По своему смыслу состояние z(τ) представляет собой совокупность существенных свойств (характеристик) системы, знание которых в настоящем (в момент времени τ) позволяет определить ее поведение в будущем (в моменты времени t > τ). Благодаря этому понятию, уравнение “вход-выход”-состояние принимает вид:
YT = A(T, z(τ), XT), (2.1)
где XT, YT - входной и выходной процесс на интервале времени T;
A(*)- оператор выходов.

Слайд 6

Согласно (2.1), выходной процесс полностью определяется входным процессом и начальным состоянием

и не зависит от того, каким образом система была переведена в это состояние. Отсюда ясно, что уравнение (2.1) ограничивает класс рассматриваемых систем только такими системами, функционирование которых в настоящем не зависит от того, как они функционировали в прошлом.
Для полного описания процесса функционирования системы необходимо задать условия определения состояния системы. Для этого вводится понятие уравнения состояния:
z(t) = B(τt, z(τ), Xτt), (2.2)
где
B(*) - оператор, устанавливающий однозначную зависимость z(t) от пары (z(τ), Xτt), которая задана на интервале t, и называемый оператором перехода.
Уравнения (2.1) и (2.2) имеют достаточно логичное обобщение и на многомерный случай, когда каждая из компонент уравнений имеет векторный вид:

Слайд 7

Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать прогнозирование процесса функционирования на

всем интервале функционирования T (множество времени) по заданному вектору начального состояния записанном в векторном виде входному процессу (T). Согласно изложенному выше, для решения этой задачи достаточно задать множества допустимых значений входных X и выходных Y процессов, а также множество возможных состояний системы Z и операторы выхода A и перехода B. Модель функционирования системы без предыстории представляет собой кортеж
MF = . (2.3)
Если все компоненты в (2.3) известны, модель функционирования полностью определена и может быть использована для описания и изучения свойственных системе процессов функционирования. Множества и операторы, составляющие общесистемную модель (2.3), могут обладать различными свойствами, совокупность которых позволяет конкретизировать характер функционирования системы:
N – непрерывность;
L – линейность;
C – стационарность;
P – стохастичность (вероятность).
Наделяя систему теми или иными свойствами общесистемная модель конкретизируется до системной модели.

Слайд 8

Системные свойства:
1). Если интервал функционирования системы Т = [] представляет отрезок оси

действительных чисел, заданный началом и концом , то система функционирует в непрерывном времени. Если, кроме того непрерывны операторы А и В, то система наз. непрерывной.
2). С т.зр. реакции на внешнее воздействие объекты подразделяют на линейные и нелинейные. Линейными наз. такой объект, реакция которого на совместное воздействие 2-х любых внешних возмущений равно сумме реакций на каждое из этих воздействий, приложенных к системе порознь.
- принцип суперпозиции,
(0)=0 (начальное состояние системы),
где - оператор объекта, устанавливает связь входа и выхода.
Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции.
3). Поскольку стационарная система при фиксированном начальном состоянии Z(t0) одинаково реагирует на эквивалентные, отличающиеся только сдвигом по времени, входные воздействия, то наложение интервала t0, t на оси времени не оказывает влияния на процесс функционирования системы. Модель М для стационарных систем не содержит в явном виде интервал функционирования Т.
4) Если в модели М операторы А и В каждой паре (X, V, Z(t0)) (вход, состояние) ставят в соответствие единственные значения Y и Z, описываемая этой моделью система называется детерминированной. Для стохастической (вероятностной) системы Y и Z, случайные величины, заданные законами распределения.

Слайд 9

Общесистемная и системные модели функционирования (в дальнейшем термин «модель функционирования» для

краткости может заменяться термином «модель» с сохранением исходного смысла) обладают исключительно высокой степенью общности.
Конструктивные модели в сущности представляют собой алгоритмы, пользуясь которыми, можно определить значения одних переменных, характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениям других переменных.

Слайд 10

Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели функционирования системы

определяются процессом реализации системотехнической цепочки преобразований «общесистемная модель системная модель конструктивная модель машинная модель».
Моделирование процессов функционирования конкретной системы должно начинаться с записи всех компонент общесистемной модели (2.3), определения их содержательного смысла и областей изменения. Согласно модели (2.3), необходимо определить: интервал времени, на котором нас интересует функционирование системы; множество входных и выходных воздействий и области их возможных изменений; множество характеристик состояния системы и область их возможных изменений.

Слайд 11

Классификация системных моделей
MNLCP - легко мат.описание
MNLCP - нет адекватного мат.описания (трудно)
Инверсия

(N) – данное свойство не выполняется, например нет свойства непрерывности

Слайд 12

Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые

присущи всем или достаточно широкому классу систем. В инженерной практике используют так называемые конструктивные модели, пригодные для инженерных расчетов.
КМ – алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения одних переменных, характеризующих систему по заданным или измеренным значениям других переменных.
КМ – может и должна вырастать из большой общей системной модели путем конкретизации ее свойств.
При построении моделей функционирования систем применяют следующие подходы:
непрерывно-детерминированный подход (дифференцированные уравнения);
дискретно-детерминированный (конечные автоматы);
дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы);
непрерывно-стохастический подход (системы СМО)
обобщенный / универсальный подход (агрегитивные системы)

Слайд 13

Модели данных
Сетевая модель
В сетевой модели основным внутренним ограничением является требование функциональности

связей, т. е. непосредственно могут использоваться только связи 1:1, 1:М, М:1 (функциональной будет обратная связь). Это означает, что каждый экземпляр записи не может быть членом более чем одного экземпляра набора каждого типа. И у каждой записи члена в данном наборе только одна - запись-владелец набора.
Пример: (очевидный, тривиальный) группа студент
номер группы - владелец набора; запись студента - член набора.
При этом непосредственное представление связей M:N (студент - преподаватель) невозможно: для представления этих связей вводятся вспомогательные типы записей и две функциональные связи типа 1:M.
На связи между именами данных могут быть наложены явные ограничения, выражения, зависящие и не зависящие от времени свойства связей. Они задаются типом членства в наборе.
Фиксированное членство. Запись нельзя разъединить с владельцем или перевести в единственный способ исключения из набора - удаление
университет - дисплейные классы.
Обязательное членство. Можно переводить из набора в набор. Персонал дисплейного класса (дежурные инженеры).
Необязательное членство. Запись можно исключить из набора в произвольный момент времени и без включения в другой набор.
Варианты включения в набор:
- автоматический тип членства в наборе;
- ручной тип членства в наборе (явное управление пользователем).

Слайд 14

Сетевая модель:
отношения "один:много" иерархической модели иногда приводит к дублированию объектов, которые

имеют связи типа "многие ко многим". Модель данных, реализующая такой тип связей - это ациклический граф.
Пример: снабжение цехов некоторого производства исходными материалами, иерархическая модель - сетевая модель.
Организация данных определяется в терминах:
элемент данных
агрегат данных - совокупность элементов или других агрегатов; пример: адрес = город, улица, дом, квартира.
Запись - агрегат, не входящий в состав других агрегатов, основная единица обработки.
Ключ - некоторая совокупность элементов, идентифицирующих запись.
Групповое отношение (набор) - иерархическое отношение между записями двух типов, записи одного типа - владельцы отношения, записи второго - члены отношения или подчиненные.
поликлиника
диспансеризация основная
житель работа организация

Слайд 15

Жительство в групповом отношении может быть обязательным и необязательным, (т.е. запись

может или не может существовать без владельца.) Обязательное членство может быть фиксированным (автор - книга), или возможен переход к другому владельцу (смена места работы).
Операции:
Запомнить - занести в БД и включить в групповые отношения; включить в групповое отношение - связать подчиненную запись с владельцем;
переключить;
обновить - изменить в извлеченной записи значения элементов;
извлечь - или по ключу или используя групповые отношения (от владельца можно перейти к записям - членам, а от записи - члена к владельцу);
удалить - если удаляемая запись - владелец в групповом отношении, то анализируется класс членства подчиненных записей. Обязательные должны быть откреплены от владельца, фиксированные удаляются вместе с владельцем, необязательные останутся в БД;
исключить из группового отношения - разорвать связь между записью - владельцем и записью членом.

Слайд 16

Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы).
Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на

примере, используя в качестве ММ дифференциальные уравнения.
Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Слайд 17

Пусть имеем уравнение:
уравнение «вход-выход» (1)

Слайд 18

Решение уравнения (1) зависит от K(t), от начальных условий . Эти

координаты определяют начальное состояние системы.
Левую часть нужно привести к уравнению 1-го порядка.
- переменные состояния
(2)
(2) – уравнение в нормальной форме Коши, которое можно записать в матричной форме

Слайд 19

(3) – уравнение в пространстве состояний
z – в-р столбец переменного состояния

Слайд 20

, необходимое условие
- матрица коэффициентов координат состояния

Слайд 21

- матрица коэффициентов входных воздействий
- некоторые числовые матрицы
Сопоставляя (2)

и (3) получим числовые матрицы

Математические методы моделирования информационных процессов и систем. (Лекция 2)

Содержание

Основные этапы построения математической модели:составляется описание функционирования системы в целом;составляется перечень

Требования к математической модели:Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером

Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений

Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на

Согласно (2.1), выходной процесс полностью определяется входным процессом и начальным состоянием

Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать прогнозирование процесса функционирования на

Системные свойства:1). Если интервал функционирования системы Т = [] представляет отрезок оси

Общесистемная и системные модели функционирования (в дальнейшем термин «модель функционирования» для

Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели функционирования системы

Классификация системных моделейMNLCP - легко мат.описаниеMNLCP - нет адекватного мат.описания (трудно)Инверсия

Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые

Модели данныхСетевая модельВ сетевой модели основным внутренним ограничением является требование функциональности

Сетевая модель:отношения "один:много" иерархической модели иногда приводит к дублированию объектов, которые

Жительство в групповом отношении может быть обязательным и необязательным, (т.е. запись

Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы).Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на

Пусть имеем уравнение:уравнение «вход-выход» (1)