Математические утверждения и их структура. Понятия. Высказывания и предикаты. Умозаключения

Понятия

- свойства, присущие объекту, без которых объект не может существовать

- свойства,

Толковый словарь русского языка:
Существенный –
имеющий большое значение, важный
Например,
существенный признак; существенные

иметь:
4 стороны
4 прямых угла
равные диагонали

цвет
размеры
расположение

В языке понятие выражается посредством слов или словосочетаний
(термин)

Объем и содержание понятия

Содержание понятия – совокупность всех взаимосвязанных существенных

Примеры:
а: «прямоугольник», b: «трапеция»

А – множество прямоугольников

В – множество трапеций

Содержание понятия

Связь между объемом
и содержанием понятия

Понятия а: «квадрат», b: «прямоугольник»
Объемы А –

Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий:
чем шире объем

Упражнения:
Назовите 5 существенных свойств понятия «параллелограмм»
Каков объем понятий:
а: «однозначное натуральное

Отношения между понятиями

А ∩ В ≠ ∅

А ∩ В =

Пусть а и b – понятия, А и В – их

Если объемы понятий пересекаются, то понятия называются совместимыми

Примеры:
1) а: «четное число»,

Если А ⊂ В (А ≠ В), то
а) понятие а

Примеры:
1) а: «двузначное число», b: «многозначное число»,
2) а: «квадрат», b: «прямоугольник»,

Утверждения:
Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий.
Понятия

Если объемы понятий равны, то понятия называются тождественными

Примеры:
1) а: «равносторонний треугольник»,

Чтобы установить отношения между понятиями а и b нужно:
1. Найти объемы

Отношение вида и рода

Отношение части и целого

ромб - параллелограмм

минута - час

квадрат

Определение понятий

Схема определения

а ⇔ b

понятие, содержание которого надо раскрыть

понятие, посредством которого раскрывается

Примеры:
1) Квадрат - это

прямоугольник, у которого все стороны равны

2) Прямоугольным треугольником

Определение
через род и видовое отличие

Квадрат - это

прямоугольник, у которого все стороны

прямоугольники

квадраты

треугольники

прямоу-
гольные треуголь-
ники

В любом определении понятия есть элемент произвола:
в выборе термина
в

Генетическое определение
(от слова «генезис» – происхождение)
- определение, в котором

Примеры:
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих

Генетическое определение

Требования к определению

Соразмерность

Отсутствие круга

Четкость, ясность

Определение должно быть соразмерным, то есть объемы определяемого и определяющего понятий

2) Имя существительное – это часть речи, обозначающая предмет и отвечающая

3) Из истории философии.
Древнегреческий философ Платон дал такое определение понятия «человек»:

Определение не должно содержать круга.
Круг возникает тогда, когда определяемое и

2) Умножение чисел – это действие, при помощи которого находят произведение

Определение должно быть
четким, ясным
Это значит:

а) значения терминов, входящих в

б) в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять

в) определение не должно содержать избыточных свойств в определяющей части

Пример: Прямоугольником

г) определение должно содержать понятие, родовое по отношению к определяемому. При

д) необходимо, чтобы определяемый объект существовал

Пример: Тупоугольный треугольник – это треугольник,

Алгоритм построения определения понятия
1. Назвать определяемое понятие (термин).
2. Указать ближайшее родовое

Контекстуальное определение
- определение, в котором содержание нового понятия раскрывается

Контекстуальное определение

Остенсивное определение
– определение путем показа.

Остенсивное определение

Упражнения
1. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие

2. Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии каждого из

3. Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете, исправьте