Метод гомогенизации, вариационный подход. (Лекция 12)

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Метод гомогенизации, вариационный подход. (Лекция 12)

Содержание

2. 1. Вариационная постановка На микроуровне свойства среды описываются лагранжианом Вариационная формулировка задачи Пример Найти лагранжиан, описывающий
3. 2. Нахождение макролагранжиана тренд+осцилляции периодична по y
4. 3. Итог Макроскопический лагранжиан зависит только от макроскопического градиента давления и может быть вычислен как задачи
5. 4. Двойственная формулировка Прямая формулировка Двойственная формулировка преобразование Юнга-Фенхеля Пример Оценка
6. 5.Общие результаты Если микроскопические свойства среды описываются лагранжианом То макроскопические свойства могут быть описана лагранжианом а
7. 6. Еще один общий результат Аналогичные формулы могут быть получены для двойственного макроскопического вариационного принципа (3)
8. 7. 1-D Пример При гомогенизации могут возникать свойства, отсутствующие на микроуровне Нелинейная фильтрация с микролагранжианом Коэффициент
9. Если то (3) расходится, независимо от значения параметра . 8. 1-D Пример Плотность распределения Расходимость из-за
10. 9. 2-D Фильтрация: 1-я формула Дыхне Макроскопические свойства среды инвариантны относительно a) Замены фаз b) Вращения
11. 10. 2-D Фильтрация: 1-я формула Дыхне ограничена (как и в(1) !!). p/2 инвариантность инвариантность по замене
13. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Вариационная постановка
На микроуровне свойства среды описываются лагранжианом
Вариационная формулировка задачи
Пример
Найти лагранжиан,

описывающий свойства среды на макроуровне

Слайд 3

2. Нахождение макролагранжиана
тренд+осцилляции
периодична по y

Слайд 4

3. Итог
Макроскопический лагранжиан зависит только от макроскопического градиента давления и может

быть вычислен как

задачи на ячейке

Пример

эффективные к-ты

Слайд 5

4. Двойственная формулировка
Прямая формулировка
Двойственная формулировка
преобразование Юнга-Фенхеля
Пример
Оценка

Слайд 6

5.Общие результаты
Если микроскопические свойства среды описываются лагранжианом
То макроскопические свойства могут

быть описана лагранжианом

а функция может быть найдена на основе прямого (в давлениях) или
двойственного (в потоках) вариационного принципа для задачи на ячейке

прямой:

Двойственный:

(1)

(1a)

(2)

(2a)

(3)

(4)

Слайд 7

6. Еще один общий результат
Аналогичные формулы могут быть получены для двойственного

макроскопического вариационного принципа

(3)

потому что

(1)

Двойственный ВП для задачи на ячейке

(2)

Сравнение (1) и (2) дает

Для сучая 1-D

Слайд 8

7. 1-D Пример
При гомогенизации могут возникать свойства, отсутствующие на микроуровне
Нелинейная фильтрация

с микролагранжианом

Коэффициент константа, функция ,

Пусть эргодическое случайное поле (простр. среднее = среднее по ансамблю )

Макроскопические свойства зависят от плотности распределения . Возможно, что матожидание (2) будет конечным только при достаточно малых потоках

(1)

(2)

Слайд 9

Если то (3) расходится, независимо
от значения параметра .
8. 1-D Пример
Плотность

распределения

Расходимость из-за больших

Малое число слоев с большими определяют режим течения при больших градиентах давления.

(1)

(2)

(3)

Гамма распределение

Слайд 10

9. 2-D Фильтрация: 1-я формула Дыхне
Макроскопические свойства среды инвариантны относительно
a)

Замены фаз
b) Вращения на p/2

1 ?? 2

Специальные (хорошо перемешанные) среды

k1

k2

Слайд 11

10. 2-D Фильтрация: 1-я формула Дыхне
ограничена (как и в(1) !!).
p/2 инвариантность
инвариантность

по замене фаз

+

Окончательное уравнение

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)