Методы поиска условного экстремума

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Методы поиска условного экстремума

Содержание

2. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Точка (х0,у0) называется точкой условного экстремума (максимума или минимума), если существует такая окрестность этой
3. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Условный экстремум является точкой локального максимума, как на данном рисунке (или минимума) функции.
4. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Существует два основных метода поиска условного экстремума: Метод замены переменной Метод множителей Лагранжа
5. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ Рассмотрим нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей области определения, а на
6. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ Чтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения связи выразить одну переменную через другую:
7. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (ПРИМЕР) Найти точки максимума и минимума функции при условии 3х+2у=11.
8. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (РЕШЕНИЕ)
9. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В этом примере связь между х и у оказалась линейной, поэтому уравнение связи легко
10. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Рассмотрим функцию трех переменных: Функция Лагранжа
11. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА (ТЕОРЕМА) Если точка (х0,у0) является точкой условного экстремума функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=C,
12. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Следовательно, для нахождения условного экстремума функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=C, требуется найти решение
13. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Первые два уравнения можно записать в виде: То есть в точках условного экстремума
14. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Рассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа: В точке условного экстремума линия уровня функции z=f(x,y)
16. Скачать презентацию

Слайд 2

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Точка (х0,у0) называется точкой условного экстремума (максимума или минимума), если

существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x,y)=C, выполняется неравенство:
max
min

Слайд 3

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Условный экстремум является точкой локального максимума, как на данном рисунке

(или минимума) функции.

Слайд 4

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Существует два основных метода поиска условного экстремума:
Метод замены переменной
Метод множителей

Лагранжа

Слайд 5

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Рассмотрим нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей

области определения, а на множестве, удовлетворяющему некоторому условию.
Пусть задана функция z=f(x,y), аргументы которой удовлетворяют уравнению
g(x,y)=C,
называемому уравнением связи.

Слайд 6

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Чтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения связи выразить

одну переменную через другую:
y=φ(x).
Подставим это выражение в функцию двух переменных и получим функцию одной переменной:
z=f(x,y)=f(x, φ(x)).
Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z=f(x,y).

Слайд 7

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (ПРИМЕР)
Найти точки максимума и минимума функции
при условии 3х+2у=11.

Слайд 8

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (РЕШЕНИЕ)

Слайд 9

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
В этом примере связь между х и у оказалась линейной,

поэтому уравнение связи легко разрешилось относительно одной из переменных.
Но в некоторых случаях это сделать довольно сложно. Поэтому в общем случае для нахождения условного экстремума используется метод множителей Лагранжа.

Слайд 10

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Рассмотрим функцию трех переменных:
Функция Лагранжа

Слайд 11

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА (ТЕОРЕМА)
Если точка (х0,у0) является точкой
условного экстремума функции z=f(x,y)

при условии g(x,y)=C, то существует
значение λ0, такое что точка
(х0,у0,λ0) является точкой экстремума
функции L(x,y,λ).

Слайд 12

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Следовательно, для нахождения условного экстремума функции z=f(x,y) при условии

g(x,y)=C, требуется найти решение системы:
Последнее уравнение совпадает с уравнением связи.

Слайд 13

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Первые два уравнения можно записать в виде:
То есть в

точках условного экстремума градиенты функций f(x,y) и g(x,y) коллинеарны.

Слайд 14

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Рассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа:
В точке условного экстремума линия

уровня функции z=f(x,y) касается линии g(x,y)=C.

Методы поиска условного экстремума

Содержание

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Точка (х0,у0) называется точкой условного экстремума (максимума или минимума), если

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМУсловный экстремум является точкой локального максимума, как на данном рисунке

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМСуществует два основных метода поиска условного экстремума:Метод замены переменнойМетод множителей

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙРассмотрим нахождение экстремума функции нескольких переменных не на всей

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙЧтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения связи выразить

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (ПРИМЕР)Найти точки максимума и минимума функциипри условии 3х+2у=11.

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ (РЕШЕНИЕ)

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМВ этом примере связь между х и у оказалась линейной,

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖАРассмотрим функцию трех переменных:Функция Лагранжа

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА (ТЕОРЕМА)Если точка (х0,у0) является точкойусловного экстремума функции z=f(x,y)

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖАСледовательно, для нахождения условного экстремума функции z=f(x,y) при условии

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖАПервые два уравнения можно записать в виде:То есть в

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖАРассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа:В точке условного экстремума линия

Похожие презентации