Монотонность и экстремумы функции

Август 10, 2022

Главная
Математика
Монотонность и экстремумы функции

Содержание

2. x2 > x1 ⇒ f (x2) > f (x1) x2 > x1 ⇒ f (x2) Возрастание
3. Признак возрастания функции. Для того, чтобы функция y=f(x) возраста-ла на промежутке, необходимо и доста-точно, чтобы производная
4. Определение. Точка х0 называется точкой максимума(max), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x0)
5. Определение. Точка х0 называется точкой минимума(min), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x0)
6. x1 x2 x3 x4
7. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Если х0-точка экстремума функции и в ней существует производная, то
9. Теорема (1-е достаточное условие существования экстремума). Пусть x0 - критическая точка функции y=f(x) (т.е. или не
10. Схема исследования функции на монотонность и экстремумы. 1. Найти 2. Найти критические точки 1-го рода. (т.е.
11. Пример. Исследовать функцию на монотонность, точки экстремума. -1 3 0 0 + - + Max 16
13. Исследование на экстремум с помощью производных высших порядков.
14. Теорема (2-е достаточное условие существования экстремума). Пусть x0 - критическая точка функции, т.е. или не существует.
15. Пример Функцию исследовать на точки экстремума по 2-му достаточному условию.
17. Скачать презентацию

Слайд 2

x2 > x1 ⇒
f (x2) > f (x1)
x2 > x1 ⇒
f

(x2) < f (x1)

Возрастание и убывание функций. Признаки монотонности.

Слайд 3

Признак возрастания функции.
Для того, чтобы функция y=f(x) возраста-ла на промежутке, необходимо

и доста-точно, чтобы производная функции была положительной на этом промежутке.

Признак убывания функции.
Для того , чтобы функция y=f(x) убывала на промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была отри-цательной на этом промежутке.

Слайд 4

Определение. Точка х0 называется точкой максимума(max), если в некоторой окрестности точки

х0 выполняется неравенство f (x0) > f (x) .

x0 - точка максимума, f (x0) - максимум

2. Точки экстремума. Необходимое условие экстремумов

Слайд 5

Определение. Точка х0 называется точкой минимума(min), если в некоторой окрестности точки

х0 выполняется неравенство
f (x0) < f (x) .

x0 - точка минимума, f (x0) - минимум

Слайд 6

x1
x2
x3
x4

Слайд 7

Необходимое условие экстремума функции
(теорема Ферма). Если х0-точка экстремума функции и в

ней существует производная, то она в этой точке равна 0.

Слайд 8

Слайд 9

Теорема (1-е достаточное условие существования экстремума).
Пусть x0 - критическая точка функции

y=f(x) (т.е. или не существует).
Если производная при переходе через х0 меняет знак , то х0 является точкой экстремума.

3. Достаточное условие экстремума функции.

, то х0 – т. max

, то х0 – т. min

Слайд 10

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы.
1. Найти
2. Найти критические

точки 1-го рода.
(т.е. решить уравнение f ′ (x) = 0 )
3. Установить знаки производной при
переходе через критические точки и
определить точки экстремума.
4. Найти значения функции в точках
экстремума.

Слайд 11

Пример. Исследовать функцию
на монотонность, точки экстремума.
-1
3
0
0
+
-
+
Max
16
Min
-16

Слайд 12

Слайд 13

Исследование на экстремум с помощью производных высших порядков.

Слайд 14

Теорема (2-е достаточное условие существования экстремума).
Пусть x0 - критическая точка функции,

т.е. или не существует.
Если вторая производная функции в точке х0 положительна , то х0 - точка минимума.
Если вторая производная функции в точке x0 отрицательна, то x0 - точка максимума.

Слайд 15

Монотонность и экстремумы функции

Содержание

x2 > x1 ⇒f (x2) > f (x1)x2 > x1 ⇒f

Признак возрастания функции.Для того, чтобы функция y=f(x) возраста-ла на промежутке, необходимо

Определение. Точка х0 называется точкой максимума(max), если в некоторой окрестности точки

Определение. Точка х0 называется точкой минимума(min), если в некоторой окрестности точки

x1x2x3x4

Необходимое условие экстремума функции(теорема Ферма). Если х0-точка экстремума функции и в

Теорема (1-е достаточное условие существования экстремума).Пусть x0 - критическая точка функции

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы.1. Найти 2. Найти критические

Пример. Исследовать функциюна монотонность, точки экстремума.-1300+-+Max16Min-16

Исследование на экстремум с помощью производных высших порядков.

Теорема (2-е достаточное условие существования экстремума).Пусть x0 - критическая точка функции,

Пример Функциюисследовать на точки экстремума по 2-му достаточному условию.

Похожие презентации