Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x) , зная ее производную F’(x) = f(x) :

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a; b), если

Теорема

Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a; b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой:
F(x) + С, где С – постоянное число.

Доказательство:

F(x) + С – первообразная функции f(x) .

Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается:

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых y = F(x) + С (интегральных кривых)

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Инвариантность формулы интегрирования: Если

то:

где u = φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Пусть требуется вычислить интеграл

Сделаем подстановку: , где φ – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда:

Получим формулу интегрирования подстановкой:

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде

Тогда подынтегральную функцию нужно представить в виде:

Пусть u = u(x) и v = v(x) - функции, имеющие непрерывную производную. Тогда:

Формула интегрирования по частям

(1)

Типы интегралов, которые удобно вычислять по частям:

Интегралы вида:

Удобно положить dv = P(x)dx, u – остальные сомножители.

Интегралы вида:

- интегралы, приводящиеся к исходному. За u можно принимать любой сомножитель.