Непрерывные функции и точки разрыва

РАЗРЫВА

Определение
Функция f (x), называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение
Функция f (x), называется непрерывной на отрезке [а, b], если она
непрерывна в интервале (a, b),
(непрерывность справа), (непрерывность слева).

Все простейшие элементарные функции непрерывны в своей области определения

f (x), g (x) непрерывны в точке х0, тогда функции

непрерывны в точке х0.

Указанные свойства можно обобщить на случай непрерывности функций
на некотором множестве

Классификация точек разрыва

Определение
Если функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, может быть, самой точки х0, но не является непрерывной в этой точке, то точка х0 называется точкой разрыва.

Если 1, 2 выполняются,
а 3 не выполняется,
то х0 – точка устранимого разрыва I рода

Если 1 выполняется,
2 не выполняется,
то х0 – точка неустранимого
разрыва I рода

Если 1 не выполняется, то х0 – точка разрыва II рода

I рода

точка разрыва II рода

Пусть х0 - внутренняя точка области определения

Рассмотрим условия:

Пример 1

х = 0 – точка устранимого разрыва I рода

I рода

точка разрыва II рода

Пусть х0 - внутренняя точка области определения

Рассмотрим условия:

Пример 2

– точка неустранимого разрыва I рода

I рода

точка разрыва II рода

Пусть х0 - внутренняя точка области определения

Рассмотрим условия:

Пример 3

– точка разрыва II рода

I рода

точка разрыва II рода

Пусть х0 - внутренняя точка области определения

Рассмотрим условия:

Пример 4

В точке х=1 функция непрерывна

функция непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на нем свои наибольшее и наименьшее значения.

Следствие
Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка не равные значения
f (a)=A, f (b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие
Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] найдется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в 0.