Объем пирамиды

Содержание

Слайд 2

Упражнение 1 Верно ли, что две пирамиды, имеющие общее основание и

Упражнение 1

Верно ли, что две пирамиды, имеющие общее основание и вершины,

расположенные в плоскости, параллельной основанию, равновелики?

Ответ: Да.

Слайд 3

Упражнение 2 Два конуса имеют равные высоты, а площадь основания одного

Упражнение 2

Два конуса имеют равные высоты, а площадь основания одного в

три раза больше площади основания другого. Как относятся их объемы?

Ответ: 3:1.

Слайд 4

Упражнение 3 Верно ли, что любая плоскость, проходящая через вершину и

Упражнение 3

Верно ли, что любая плоскость, проходящая через вершину и центр

основания кругового конуса, делит его на равновеликие части?

Ответ: Да.

Слайд 5

Упражнение 4 В основании пирамиды квадрат. Верно ли, что любая плоскость,

Упражнение 4

В основании пирамиды квадрат. Верно ли, что любая плоскость, проходящая

через вершину пирамиды и центр основания, делит пирамиду на две равновеликие части?

Ответ: Да.

Слайд 6

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ Теорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

Теорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания

на высоту.

Доказательство. Рассмотрим случай треугольной пирамиды. Пусть A1ABC треугольная пирамида. Достроим ее до призмы ABCA1B1C1 . Плоскости, проходящие через точки B, C, A1 и C, B1, A1 разбивают эту призму на три пирамиды A1ABC, A1CBB1 и A1CB1C1 с вершинами в точке A1. Пирамиды A1CBB1 и A1CB1C1 имеют равные основания CBB1 и CB1C1. Кроме этого, данные пирамиды имеют общую вершину, а их основания лежат в одной плоскости. Значит, эти пирамиды имеют общую высоту. Следовательно, эти пирамиды имеют равные объемы.

Рассмотрим теперь пирамиды A1ABC и CA1B1C1. Они имеют равные основания ABC и A1B1C1 и равные высоты. Следовательно, они имеют равные объемы. Таким образом, объемы всех трех пирамид равны. Учитывая, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту, получим формулу объема треугольной пирамиды
где S - площадь основания пирамиды, h - ее высота.

Слайд 7

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ Пусть теперь дана пирамида, в основании которой - многоугольник.

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

Пусть теперь дана пирамида, в основании которой - многоугольник. Рассмотрим

треугольную пирамиду с такой же высотой и такой же площадью основания. По теореме предыдущего параграфа объемы этих пирамид равны и, следовательно, имеет место формула
где S - площадь основания пирамиды, h - ее высота.
Слайд 8

Упражнение 1 Найдите объем четырехугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой

Упражнение 1

Найдите объем четырехугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой являются

вершины единичного куба.

Ответ: 1/3.

Слайд 9

Упражнение 2 Найдите объем треугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой

Упражнение 2

Найдите объем треугольной пирамиды, изображенной на рисунке, вершинами которой являются

вершины единичного куба.

Ответ: 1/6.

Слайд 10

Упражнение 3 Вершинами пирамиды являются все вершины одного основания и одна

Упражнение 3

Вершинами пирамиды являются все вершины одного основания и одна вершина

другого основания призмы. Какую часть объема призмы составляет объем пирамиды?

Ответ: 1/3.

Слайд 11

Упражнение 4 Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и делит

Упражнение 4

Плоскость проходит через сторону основания треугольной пирамиды и делит противоположное

боковое ребро в отношении 1 : 2, считая от вершины. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Ответ: 1 : 2.

Слайд 12

Упражнение 5 Найдите объем пирамиды, высота которой 3, а в основании

Упражнение 5

Найдите объем пирамиды, высота которой 3, а в основании -

прямоугольник со сторонами 1 и 2.

Ответ: 2.

Слайд 13

Упражнение 6 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 1, высота – 2.

Упражнение 6

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 1,

высота – 2.
Слайд 14

Упражнение 7 В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро

Упражнение 7

В правильной четырехугольной пирамиде высота 3 м, боковое ребро 5

м. Найдите ее объем.

Ответ: 32 м3.

Слайд 15

Упражнение 8 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением

Упражнение 8

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является

правильный треугольник со стороной, равной 1.
Слайд 16

Упражнение 9 Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1.

Упражнение 9

Найдите объем тетраэдра с ребром, равным 1.

Слайд 17

Упражнение 10 Объем правильной шестиугольной пирамиды 6 см3. Сторона основания 1

Упражнение 10

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6 см3. Сторона основания 1 см.

Найдите боковое ребро.

Ответ: 7 см.

Слайд 18

Упражнение 11 Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 1. Найдите объем пирамиды.

Упражнение 11

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно

1. Найдите объем пирамиды.
Слайд 19

Упражнение 12 Найдите объем треугольной пирамиды, если длина каждого ее бокового

Упражнение 12

Найдите объем треугольной пирамиды, если длина каждого ее бокового ребра

равна 1, а плоские углы при вершине равны 60°, 90° и 90°.
Слайд 20

Упражнение 13 Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1.

Упражнение 13

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две

ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 60о. Найдите объем пирамиды.
Слайд 21

Упражнение 14 Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости

Упражнение 14

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания,

а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.
Слайд 22

Упражнение 15 В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов

Упражнение 15

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого

равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 30о. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60о. Найдите объем пирамиды.
Слайд 23

Упражнение 16 Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены

Упражнение 16

Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к

плоскости основания под углом 30о. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.
Слайд 24

Упражнение 17 Пирамида, объем которой равен 1, а в основании лежит

Упражнение 17

Пирамида, объем которой равен 1, а в основании лежит прямоугольник,

пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Определите объем оставшейся части пирамиды.
Слайд 25

Упражнение 18 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 1, а угол между

Упражнение 18

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды 1, а угол между боковой

гранью и основанием 45о. Найдите объем пирамиды.
Слайд 26

Упражнение 19 В куб с ребром, равным 1, вписан правильный тетраэдр

Упражнение 19

В куб с ребром, равным 1, вписан правильный тетраэдр таким

образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Определите объем тетраэдра.
Слайд 27

Упражнение 20 Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат со стороной 1. Найдите объем этой пирамиды.

Упражнение 20

Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат со стороной 1. Найдите

объем этой пирамиды.
Слайд 28

Упражнение 21 Плоскость пересекает ребра SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC

Упражнение 21

Плоскость пересекает ребра SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC в

точках A’, B’, C’ соответственно. Найдите объем пирамиды SA’B’C’, если объем исходной пирамиды равен 1 и SA’ : SA = 1 : 2, SB’ : SB = 2 : 3, SC’ : SC = 3 : 4.
Слайд 29

Упражнение 22 Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и равны 3. Расстояние

Упражнение 22

Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны и равны 3. Расстояние между

ними равно 2. Найдите объем тетраэдра.
Слайд 30

Упражнение 23 Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол 60о и равны

Упражнение 23

Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол 60о и равны 2.

Расстояние между ними равно 3. Найдите объем тетраэдра.
Слайд 31

Упражнение 24 Одно ребро тетраэдра равно 6. Все остальные ребра равны 4. Найдите объем тетраэдра.

Упражнение 24

Одно ребро тетраэдра равно 6. Все остальные ребра равны 4.

Найдите объем тетраэдра.
Слайд 32

Найдите объем общей части двух призм ADA1BCB1 и ABA1DCD1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 25

Найдите объем общей части двух призм ADA1BCB1 и ABA1DCD1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 25

Слайд 33

Найдите объем общей части двух призм ABB1DCC1 и ADA1BCB1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 26

Найдите объем общей части двух призм ABB1DCC1 и ADA1BCB1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 26

Слайд 34

Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и ABB1DCC1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 27

Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и ABB1DCC1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 27

Слайд 35

Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и ABA1DCD1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 28

Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и ABA1DCD1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 28

Слайд 36

Найдите объем общей части двух призм ADA1BCB1 и BA1B1CD1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 29

Найдите объем общей части двух призм ADA1BCB1 и BA1B1CD1C1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 29

Слайд 37

Найдите объем общей части двух призм ABA1DCD1 и AA1D1BB1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 30

Найдите объем общей части двух призм ABA1DCD1 и AA1D1BB1C1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 30

Слайд 38

Найдите объем общей части двух призм ABA1DCD1 и DA1D1CB1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 31

Найдите объем общей части двух призм ABA1DCD1 и DA1D1CB1C1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 31

Слайд 39

Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и AA1B1DD1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 33

Найдите объем общей части двух призм ADD1BCC1 и AA1B1DD1C1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 33

Слайд 40

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и C1ABCD, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 33

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и C1ABCD, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 33

Слайд 41

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и DBCC1B1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 34

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и DBCC1B1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 34

Слайд 42

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и ABCC1B1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 35

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и ABCC1B1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 35

Слайд 43

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и BCDD1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 36

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и BCDD1C1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 36

Слайд 44

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и CADD1A1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 37

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и CADD1A1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 37

Слайд 45

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и B1ADD1A1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 38

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABCD и B1ADD1A1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 38

Слайд 46

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABD и B1ABC, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 39

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABD и B1ABC, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 39

Слайд 47

Найдите объем общей части двух пирамид C1BCD и B1ABC, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 40

Найдите объем общей части двух пирамид C1BCD и B1ABC, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 40

Слайд 48

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABC и D1ABD, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 41

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABC и D1ABD, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 41

Слайд 49

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABC и AA1B1C1, содержащихся в единичном кубе ABCDA1B1C1D1. Упражнение 42

Найдите объем общей части двух пирамид A1ABC и AA1B1C1, содержащихся в

единичном кубе ABCDA1B1C1D1.

Упражнение 42

Слайд 50

Упражнение 43 Найдите объем октаэдра с ребром, равным 1.

Упражнение 43

Найдите объем октаэдра с ребром, равным 1.

Слайд 51

Упражнение 44 Центры граней куба, ребро которого равно 1, служат вершинами октаэдра. Определите его объем.

Упражнение 44

Центры граней куба, ребро которого равно 1, служат вершинами октаэдра.

Определите его объем.
Слайд 52

Упражнение 45 Два куба с ребром a имеют общую диагональ, но

Упражнение 45

Два куба с ребром a имеют общую диагональ, но один

повернут вокруг этой диагонали на угол 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.
Слайд 53

Упражнение 46 Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту.

Упражнение 46

Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Один

из них повернут на 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.
Слайд 54

Упражнение 47 Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту.

Упражнение 47

Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина

одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Стороны оснований тетраэдров попарно параллельны. Найдите объем общей части этих тетраэдров.
Слайд 55

Упражнение 48 Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту.

Упражнение 48

Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина

одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Основание одного из тетраэдров повернуто на 60° по отношению к основанию другого. Найдите объем общей части этих тетраэдров.
Слайд 56

Упражнение 49 Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общий отрезок,

Упражнение 49

Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общий отрезок, соединяющий

середины двух противоположных ребер. Один тетраэдр повернут на 90° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.
- Предыдущая
Speech disorders or speech impediments are a type of communication disorder where normal speech is disrupted
Следующая -
Дробные рациональные уравнения

Похожие презентации

Наибольший общий делитель
Аттестационная работа. Эссе о включении учащихся в проектную деятельность на уроках математики
Объем прямоугольного параллелепипеда
Устный счет. Арифметический корень натуральной степени
Теорема Пифагора (теорема нимфы, теорема невесты)
Основные понятия и определения графа и его элементов
Задачи на проценты 2
Серединный перпендикуляр
Аттестационная работа. Математическое общество учащихся Ориентир
Решение задач по теме «Векторы»
Булевы отношения
Как путешествует точка? 6 класс
Аналитическая геометрия
Задача оптимизации
Алгебра передаточных функций
Показатели вариации
Презентация на тему Сложение и вычитание в пределах 20
Математика в жизни человека Киреева Ольга и Пономарёва Анастасия ученицы 6 класса МБОУ ООШ с.Никольское.
В царстве чисел-великанов. (6 класс)
Решение тригонометрических уравнений функционально-графическим методом
Графики, уравнения, неравенства
Формула разности квадратов. 7 класс
Шар. Задачи
Пропорции и отношения
Рисуем по координатам
Сумма углов треугольника
Система линейных уравнений с двумя переменными
8 способов решения квадратного уравнения. 8 класс
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть