Определенный интеграл

14.1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция

Фигура под ломаной состоит из трапеций и ее площадь равна сумме

S

За искомую площадь под кривой берут предел площади под ломаной при

Сумму вида

называют интегральной суммой
для функции y=f(x) на отрезке [a,b]

Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек ξi

Каждое

Наибольший из отрезков разбиения

обозначим как

Вся интегральная сумма будет равна

Если существует конечный предел интегральной суммы при

не зависящий от способа

Функция y=f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a,b].

Числа a и b называются

Неопределенный интеграл

есть семейство функций, а определенный интеграл

есть определенное число.

По определению

С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше.

Если а =

Необходимое условие существования определенного интеграла

14.2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Интегрируемая на

Достаточное условие существования определенного интеграла

Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)

Свойства определенного интеграла

1

Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.

2

Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности)

3

Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем отрезке

Геометрически это означает, что если a

S

S

S

4

Если на [a,b], где a

то

Следствие.

Пусть на [a,b], где a

где m и M некоторые

6

Если на [a,b] функция y=f(x) неотрицательна, то площадь под этой кривой

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:

1

Находится

1

Вычислить определенный интеграл

Примеры.

Решение.

2

Решение.

Рассмотрим правило замены переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на [α,β], где φ(α)=a, φ(β)=b

Как и в случае неопределенного интеграла замена переменной во многих случаях

На практике, выполняя замену переменной, часто указывают выражение

новой переменной через

Вычислить определенный интеграл

Пример.

Решение:

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [α,β], тогда

где

Теорема

Вычислить определенный интеграл

Пример.