Определённый интеграл

Задача о вычислении площади криволинейной
трапеции.

Пусть f(x) - непрерывная на [

a

b

y=f(x)

ci

Площадь криволинейной трапеции будет равна
приближённо сумме площадей прямоугольников:

Тогда
- точное значение площади криволинейной
трапеции.

a

b

ci

Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

Построенные выше суммы вида

называются

зависит от способа разбиения
[a,b] на части и от выбора точек

а - нижний предел,
b - верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного
интеграла.

Теорема существования :

Если

то

Замечания.

1.

2.

Свойства определенного интеграла.

1.

Независимость величины интеграла от обозначения переменной интегрирования.

2.

Линейность.

3.

Аддитивность (разбиение на сумму интегралов по частям отрезка).

( между а

4.

Сохранение знака интеграла .

Если

то

5.

Интегрирование неравенств.

Если

то

6.

Теорема об оценке интеграла.

Если

то

7.

Теорема о среднем.

Если

то

Доказательство:

Из теоремы об оценке