Классы интегрируемых функций. Интегрирование иррациональных выражений

Лекция 7

Классы интегрируемых функций.

Интегрирование иррациональных
выражений.

I. Линейные иррациональности.

- линейная иррациональность,

дробно-рациональная функция
своих аргументов.

Метод.

Если S – общий

В результате интеграл сводится к интегралу
от дробно-рациональной функции аргумента

II. Дробно-линейные иррациональности.

- дробно-линейная иррациональность.

Пусть S – общий знаменатель дробей

После подстановки

указанный интеграл сводится к интегралу
от дробно-рациональной функции аргумента t
(корни

III. Квадратичные иррациональности.
Тригонометрические подстановки.

- квадратичная иррациональность,

дробно-рациональная функция двух
аргументов.

Метод.

После выделения полного квадрата в квадратном
трёхчлене и замены

интеграл сводится к

После такой замены интеграл сводится к интегралу от тригонометрических функций:

Пример.

Частные случаи квадратичных
иррациональностей.

Выделением полного квадрата в знаменателе
интеграл сводится к

В числителе выделяется производная квадратного
трехчлена, стоящего в знаменателе.

Пример.