Ошибка измерения. Учет ошибки шкалы прибора и систематических ошибок. Оценка суммарной погрешности

из четырех типов шкал измерения:

1) номинативная (номинальная, шкала наименований);
2) порядковая (ординальная);
3) интервальная (шкала равных интервалов);
4) шкала равных отношений.

множества. На этой шкале определены две операции - «равно» и «не равно». Номинальная шкала допускает те преобразования, которые, у одинаковых объектов оставляет одинаковые имена (идентификаторы). Это могут быть имена собственные, названия городов и т.д. Рассмотрим пример трех множеств из пяти элементов. Первое множество образуют фамилии людей, второе - знаки зодиака, третье - номера комнат. Элементы этих множеств приведены в таблице.
Элементы номинальной шкалы.
Значения на номинальной шкале всего лишь дают возможность отличить один объект от другого. Эти значения не могут быть упорядочены и рассматриваются изолированно друг от друга.
Специально отметим, что числа, приведенные в последнем столбце (Множество - 3), числами не являются. Это «имена» комнат. С ними нельзя, например, выполнить действие сложения: 27+81=108. Тем более, на номинальной шкале нельзя выполнять арифметические операции умножения и деления.

именовать, но и ранжировать элементы множества. Порядковая шкала допускает только монотонные преобразования, то есть такие, которые не нарушают порядок следования значений измеряемых величин. Самый яркий пример порядковой шкалы - это шкала Мооса для твердости минералов.
При построении шкалы твердости рассуждали следующим образом: тальк - самый мягкий минерал, им ничего нельзя поцарапать, поэтому ему присвоена самая низкая твердость. Гипс царапает тальк, следовательно, он тверже и ему присваивается твердость, равная двум. В свою очередь, кальцит царапает гипс, значит, он еще тверже и ему приписывается твердость 3. Самым твердым оказывается алмаз, который царапает все минералы и ни один минерал не царапает его.

упорядочены. В рассмотренном примере минералы строго упорядочены по своей твердости. Пусть мы хотим определить твердость неизвестного минерала. Проведем серию испытаний, пытаясь поцарапать известные минералы. Допустим, оказалось, что мы можем поцарапать кварц, но не можем корунд. Значит наш минерал тверже кварца, но мягче корунда. Следовательно, твердость нашего минерала равна 8. Отметим, что мы не знаем насколько наш минерал тверже кварца, такую информацию порядковая шкала не содержит.
  Другой пример - это школьные отметки
Отметки имеют свои имена (1, 2, 3, 4, 5) и упорядочены. Нам известно, что 4 означает более высокий уровень знаний, чем 3, но не известно насколько. С отметками нельзя выполнять арифметические операции: 5-4=1,  3-2=1, 5-4=3-2  и т.д.. Ясно, что различие в знаниях между отличником и хорошистом не такое же, как между троечником и двоечником. Это общеизвестный факт. С другой стороны в образовательных учреждениях широко практикуется средний балл. Для определения среднего балла складывают, например,  все отметки за год и делят на их количество. Это недопустимо.  Ни складывать, ни делить отметки нельзя, так как они расположены на порядковой шкале*.

множества, но и задает известные интервалы между элементами. Интервальная шкала допускает линейные преобразования  вида:
y = a · x + b
где  а  - положительное число,  b - положительное или отрицательное число.
Изменение  a  приводит к изменению масштаба шкалы, изменение b вызывает сдвиг по шкале, то есть положение нуля на интервальной  шкале не определено.  Интервальные шкалы используются, например, для измерения температуры. При этом температурные интервалы равны, а положение нуля зависит от вида температурной шкалы, например  по Цельсию, или по Фаренгейту. Если это неизвестно, то для описания закономерностей следует использовать отношение интервалов:

97,7—97,8 % всех значений признака при нормальном его распределении укладываются в диапазон М ± 36. Можно построить шкалу в единицах долей стандартного отклонения, которая будет охватывать весь возможный диапазон изменений признака, если крайний слева и крайний справа интервалы оставить открытыми.
Американский психолог Р. Кеттелл предложил шкалу стенов – «стандартных десяток». Построение такой шкалы начинается с определения среднего арифметического значения в «сырых» баллах, которое принимается за точку отсчета. Вправо и влево отмеряются интервалы, равные 1/2 стандартного отклонения. Справа от среднего значения будут располагаться интервалы, равные 6, 7, 8, 9 и 10 стенам, слева – интервалы, равные 5, 4, 3, 2 и 1 стенам. На оси «сырых» баллов размечаются границы интервалов в единицах «сырых» баллов. Иногда в шкале стенов за разное количество «сырых» баллов будет начисляться одинаковое количество стенов. Шкалу стенов можно построить по любым данным, измеренным по крайней мере в порядковой шкале, при объеме выборки n > 200 и нормальном распределении признака.

отличие от интервальной шкалы, обладает точкой нулевого отсчета. Этот тип шкал используется для измерения массы тела, его длины и так далее. Например, длина может измеряться в метрах, футах, парсеках - это определяется масштабным множителем a. Если нам неизвестны единицы измерения, то для описания закономерностей следует использовать отношение величин, которое является инвариантом для шкалы отношений.

принятому значению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле

,
где Xn – нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
– если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то Xn определяется равным верхнему пределу измерений;
– если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.
Приведенная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах).

точности, цена деления и т.д.). Этот вид погрешности легко предсказуем и заранее просчитываемый, и как следствие можно его учесть при помощи ввода поправок, либо другим способом.
- методические – составляющая общей погрешности измерения, которая обусловлена несовершенством метода измерения. Так, например, при измерении сопротивления на участке цепи при помощи омметра, величина измеренного сопротивления будет иметь методическую погрешность, за счет входного сопротивления самого омметра.
- личные, или субъективные - погрешность оператора

промахов. Обычно для этой цели применяют Q-критерий. Примечание: Если объем выборки достаточно велик (30 или более значений), можно провести проверку на подчинение результатов закону нормального распределения - по критерию Пирсена. - Рассчитать среднее значение - Рассчитать дисперсию и стандартное отклонение - Оценить доверительный интервал по критерию Стьюдента
Пример:
В результате определения содержания алюминия в сплаве получены следующие значения (в % масс): 7.48, 7.49, 7.58, 7.47, 7.50. Нужно рассчитать среднее и доверительный интервал.
Решение:
Сначала проверяем на промах крайние значения. Наибольшее значение - 7.58. По Q-критерию: Q = (7.58 - 7.50) / (7.58 - 7.47) = 0.727. Оно больше табличного критического значения Qкритич(n = 5) = 0.64. Вывод - значение 7.58 является промахом, отбрасываем его. Убеждаемся, что остальные значения не являются промахами. Рассчитываем среднее:  = (7.48 + 7.49 + 7.47 + 7.50) / 4 = 7.485 и дисперсию: V(x) = ((7.48 - 7.485)2 + (7.49 - 7.485)2 + (7.47 - 7.485)2 + (7.50- 7.485)2)/(4-1) = 0.000167.  Число степеней свободы нашей дисперсии на единицу меньше числа значений: f = 4 - 1 = 3. Стандартное отклонение вычисляем, извлекая квадратный корень из дисперсии: S = 0.01291 Рассчитываем доверительный интервал, используя табличное значение критерия Стьюдента (t-критерия) t(f = 3, p = 0.95) = 3.18,   = 3.18 * 0.01291 / 2 = 0.205269. Округляем доверительный интервал до одной значащей цифры:  дельта= 0.2, и до этого же знака округляем среднее: среднее = 7.5
Ответ: 7.5   0.2

измерения этой величины), а x0 – её точное значение.