Основные понятия алгебры логики

значения истинности, записывается А = В.

Сложное высказывание можно построить из простых с помощью логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и логических выражений, представляющих собой комбинации логических операций.

Операцией отрицания А называют высказывание (или –А, или ∀ говорят не А), которое истинно тогда, когда А ложно, и ложно тогда, когда А истинно.

Например, если событие А состоит в том, что «завтра экзамен», то «завтра НЕ будет экзамена», истинность одного утверждения автоматически означает ложность второго.

языковая конструкция, использующая частицу НЕ.

Это правило можно записать в виде следующей таблицы:

Такая таблица называется таблицей истинности.

С, которое истинно только тогда, когда истинны оба высказывания, записывается С = А∧В или С = А&В, или С = А*В (при этом говорят С равно А И В).

Например, пусть высказывание А состоит в том, что «высота шкафа меньше высоты двери», событие В «ширина шкафа меньше ширины двери», событие С «шкаф можно внести в дверь, если ширина шкафа меньше ширины двери И высота шкафа меньше высоты двери», т.е. данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом И.

конъюнкции (логического умножения) будет 1 только в том случае, когда значения обоих операндов 1.

С, которое истинно, если истинно хотя бы одно высказывание. Записывается С = A∨В, или, правда очень редко, может быть записано С = A+В (при этом говорят: С равно А ИЛИ В).

Например, пусть высказывание А состоит в том, что «студент может добираться домой на автобусе», событие В «студент может добираться домой на троллейбусе», событие С «студент добрался домой на автобусе ИЛИ троллейбусе», т.е. данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом ИЛИ.

если хотя бы один из операндов имеет значение 1.

заключением) является новое высказывание С, которое ложно только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, записывается С = А→В (при этом говорят: из А следует В).

Примером такой операции может быть любое рассуждение типа: если произошло событие А, то произойдет событие В, например, «если идет дождь, то на небе тучи». Очевидно, операция не симметрична, т.е. из В→А не всегда истинно, в нашем примере «если на небе тучи, то идет дождь» не всегда истинно.

когда посылка 1, а заключение 0.

истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности, записывается С = А↔В (.С = А = В).

Примером такой операции может быть любое высказывание типа: событие А равносильно событию В. Например, «идет дождь» равносильно «капает из тучи».

одинаковые значения (либо 0, либо 1).

о старшинстве операций.

Первыми выполняются операции в скобках, затем операции в следующем порядке: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция слева направо, импликация, эквиваленция.

логических функций.

Одним из таких базовых наборов является набор из трех функций: дизъюнкции (логическое ИЛИ), конъюнкции (логическое И) и отрицание (логическое НЕ).

элемент «логическое ИЛИ»