Основные теоремы и зависимости математической статистики. Лекция 7

математической статистикой?

Первая задача математической статистики состоит в разработке методов сбора и группировки статистических данных.

Вторая задача состоит в разработке методов анализа полученных статистических данных.

Этот анализ включает:
– оценку вероятности событий,
– оценку законов распределения случайных величин,
– оценку параметров распределения и связей между случайными величинами.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей и базируется на ее математическом аппарате.

математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.

Опр.3. Генеральная совокупность – это совокупность всех объектов (конечная или бесконечная), подлежащая исследованию.

Опр.4. Выборка – это часть генеральной совокупности.

Пример:
Изучается продолжительность работы ламп, выпускаемых заводом.
Генеральная совокупность – все лампы, выпущенные заводом.
Выборка – часть ламп, за продолжительностью работы которых ведется наблюдение.

Выводы, полученные по выборке, переносятся на всю генеральную совокупность.

Как правило, изучается определенный параметр выборки, который является случайной величиной. Обработка статистических данных дает среднее значение параметра, вероятность появления некоторого значения параметра и т.д.

Мы будем изучать методы обработки статистических данных. Для этого необходимо вспомнить некоторые понятия теории вероятностей.

это действие, совершаемое при выполнении определенных условий.

Опр.2. Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания.

Пример:
Испытание – стрельба по цели. Случайное событие – попадание в цель.

Обозначения: достоверное событие –

Опр.3. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате испытания, невозможным, если оно не может произойти.

2.1. Основные понятия теории вероятностей

, невозможное –

событий:

– произошло хотя бы одно из событий A или B.

2) Произведение событий:

– произошли оба события A и B.

3) Противоположное событие:

– событие A не произошло.

одному выстрелу.

Случайные события: A – «первый стрелок попал в цель»,
B – «второй стрелок попал в цель».

Действия:

”хотя бы один стрелок попал в цель”,

”оба стрелка попали в цель”,

”первый стрелок не попал в цель”,

”только первый стрелок попал в цель”,

”только второй стрелок попал в цель”,

”ни один стрелок не попал в цель”.

Опр.4. Два события называется несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате испытания и совместными, если в результате испытания они могут произойти вместе.

– совместные;

– несовместные;

– несовместные.

события

Пусть n – число испытаний, в которых рассматривается случайное событие A, nA – число испытаний, в которых событие A произошло. Тогда число

называется частотой события A.

Опр.2. Вероятностью события A называется число p(A), относительно, которого стабилизируется относительная частота

при неограниченном увеличении числа испытаний, то есть

В практических задачах за вероятность события A принимается частота

при достаточно большом числе испытаний.

Невозможное:

Достоверное:

монеты.
Случайное событие A – «выпадает герб».

n – число подброшенных монет, nA – число монет, у которых выпал герб.

– частота события A.

1

0.5

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Карл (Чарльз) Пирсон (1857-1936) – английский математик (математическая статистика).

n = 24000, nA = 12012

n – число возможных исходов испытаний, m – число исходов, благоприятствующих событию A. Тогда

Пример:
В пирамиде 10 винтовок, из них 4 – с оптическим прицелом.
Какова вероятность события A – «взятая наугад винтовка имеет оптический прицел»?

Решение:
Число исходов n = 10.

Число исходов, благоприятствующих событию m = 4.

Тогда вероятность события равна

B называются независимыми, если вероятность события A не зависит от события B и наоборот.

Т.1. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B вычисляется по формуле

Это следует из того, что

Т.2. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна

Т.3. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле

– несовместные.

По теореме 1

цели из двух орудий. Вероятность поражения цели из первого орудия равна 0,6, а из второго 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадет только одно орудие.

Решение: Введем события:
A1 – «выстрел из первого орудия поразит цель»
A2 – «выстрел из второго орудия поразит цель»

p(A1)=0.6;
p(A2)=0.8.

Рассмотрим событие: С - «только один выстрел поразил цель».

Все события независимые ⇒

События

несовместные ⇒

– событие А1 произошло и соб А2 не произошло

 

– событие А1 не произошло и соб А2 произошло

 

или

произвольных (совместных или несовместных) событий A и B вычисляется по формулам:

Пример: Производится стрельба по цели из двух орудий. Вероятность поражения цели из первого орудия равна 0,6, а из второго 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадет хотя бы одно орудие.

Решение: Введем события:
A1 – «выстрел из первого орудия поразит цель»
A2 – «выстрел из второго орудия поразит цель»

p(A1)=0.6;
p(A2)=0.8.

Рассмотрим событие: D - «хотя бы один выстрел поразил цель».

числа произвольных (совместных или несовместных) событий вычисляется по формуле

Пример: Четыре взвода выполняют огневую задачу. Вероятность выполнить задачу на отлично у первого взвода равна 0.6, у второго –0.7, у третьего – 0.4, у четвертого – 0.35. Найти вероятность того, что хотя бы один взвод выполнит задачу на отлично.

Решение: Введем события:
A1 – «первый взвод выполнил задачу на отлично»,
A2 – «второй взвод выполнил задачу на отлично»,
A3 – «третий взвод выполнил задачу на отлично»,
A4 – «четвертый взвод выполнил задачу на отлично»,

p(A1)=0.6;
p(A2)=0.7;
p(A3)=0.4;
p(A4)=0.35.

Рассмотрим событие: E – «хотя бы один взвод выполнит задачу на отлично».

величин

Опр. 1. Случайная величина – это переменная величина, которая в результате испытания может принимать то или иное численное значение.

Примеры:
Число попаданий в цель при нескольких выстрелах, время полета снаряда, число отказов прибора за определенное время и другие.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Обозначаются большими буквами

Дискретные случайные величины – это величины, принимающие отдельные изолированные значения.

Примеры:
Число бракованных деталей в выборке, число вызовов, поступивших на станции скорой помощи.

Для описания случайной величины применяют закон распределения этой величины.

Закон распределения - это характеристика случайной величины, которая показывает:
1) какие значения может принимать случайная величина;
2) вероятность этих значений.

законом распределения является ряд распределения, имеющий вид таблицы

где

Ряд распределения можно изобразить графически в виде многоугольника распределения

цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2. Случайная величина - количество попаданий в цель. Построить ряд распределения и многоугольник распределения.
Решение:

P

0

1

2

3