Matlab. Математические вычисления

Содержание

Введение
Основы Основы Matlab
Вычисления в Вычисления в Matlab
Функции для работы с массивами
Графические

Matlab (MATrix LABoratory) – это

математические вычисления
создание алгоритмов
моделирование
анализ, обработка и визуализация данных
научная

Пакеты, встроенные в Matlab

Matlab Web Server
Bioinformatics Toolbox
Communications Toolbox
Control System Toolbox
Database Toolbox
Distributed

ОСНОВНЫЕ ЧАСТИ ПАКЕТА MATLAB:

Язык Matlab
Среда Matlab
Управляемая графика
Библиотека математических функций
Программный интерфейс

Содержание

Выход

Язык Matlab

Си- и Паскаль-подобный объектно-ориентированный
Огромный набор встроенных функций
Расширяемый пользователем

Содержание

Выход

Среда Matlab

Интерактивная работа
Управление переменными в рабочем пространстве
Редактор
Отладчик

Содержание

Выход

Управляемая графика

Команды высокого уровня для работы с 2D- и 3D-графикой
Анимация
Команды низкого

Библиотека математических функций

Обширная коллекция вычислительных алгоритмов от элементарных функций (sin, cos

Программный интерфейс

API для взаимодействия с программами на языках Си и Фортран

Содержание

Выход

Matlab – язык для работы с матричными объектами

Основной объект Matlab –

Числа

Основной базовый тип для матриц
Хранятся в формате long (double)
стандарт плавающей

Другие типы

Строки
Массивы структур (записей)
Массивы ячеек
позволяют объединять в массиве элементы разной природы
Объекты

Содержание

Выход

Переменные и выражения

Переменные определяются пользователем при помощи оператора присваивания: x=5
В левой

Содержание

Выход

Операторы

При составлении выражений могут быть использованы операторы:
+ сложение
- вычитание

Операции отношения

Содержание

Выход

Логические операции

Содержание

Выход

Командная строка

Простейший способ взаимодействия с Matlab – работа в командной строке

Работа с КС упрощается благодаря окну Command History (меню Desktop)
Здесь хранится

Рабочее пространство (Workspace)

Все переменные хранятся в РП
порой это отнимает много места
Просмотреть

Более подробную информацию о переменных РП можно вывести командой whos:

Содержание

Выход

После закрытия сеанса работы MATLABа все переменные, вычисленные в течение сеанса,

Команда save

save – сохраняет все переменные в файл matlab.mat
save filename –

Команда load

Служит для загрузки ранее сохранённых данных
load – загружает все переменные

Команда clear

Служит для удаления переменных из РП
clear – удаляет все переменные
clear

Рабочий каталог

Все файлы (данные, функции и пр.), созданные пользователем сохраняются в

Сохранение рабочей сессии

diary – сохраняет лог текущей сессии (весь текстовый ввод

ВЫЧИСЛЕНИЯ В MATLAB

Содержание

Выход

Элементарные функции Тригонометрические

sin
cos
tan
cot
asin
acos
atan
acot

sinh
cosh
tanh
coth
asinh
acosh
atanh
acoth

sind
cosd
tand
cotd

Содержание

Выход

Элементарные функции Экспоненциальные

exp
log – ln
log10
log2
sqrt
nthroot(x, n)

Содержание

Выход

Элементарные функции Округление и остатки

fix – округление к нулю
floor – округление к

Элементарные функции Комплексные числа

abs(z) – модуль комплексного числа z
angle(z) – фаза z

Элементарные функции

Просмотреть полный список элементарных функций можно командой
help elfun

Содержание

Выход

Константы

pi – число pi
Inf – бесконечность
-Inf – минус бесконечность
NaN (Not a

Одномерные массивы

Задание массива:
a = [ -3 4 2];
a = [ -3,

Двумерные массивы

Задание массива:
a = [ 1 2; 3 4; 5 6];

Доступ

Векторы-столбцы и векторы-строки

Любая строка и столбец матрицы – это вектор
Векторы, расположенные вдоль

Размерность и размер матриц

Размерность массива определяется функцией ndims(A)

Размер массива – функцией

Конкатенация

Рассмотрим две матрицы

Проведём склейку «в столбик», а затем «в строку»:

При несовпадении

Диапазоны

Можно использовать как для задания значений векторов, так и для задания

Содержание

Выход

Для обращения к последнему элементу любой размерности можно использовать служебное слово

Удаление строк и столбцов

Содержание

Выход

Перестановка элементов

Содержание

Выход

ФУНКЦИИ ДЛЯ РАБОТЫ С МАССИВАМИ В MATLAB

Содержание

Выход

Создание матриц специального вида

Для работы с матрицами удобно пользоваться следующими функциями
ones –

МАТРИЦЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Рассмотрим основной синтаксис на примере функции создания единичной матрицы

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Функция diag: работа с диагональными матрицами
у которых ненулевые элементы расположены на

Содержание

Выход

Содержание

Выход

ВЫЧИСЛЕНИЯ С ЭЛЕМЕНТАМИ МАССИВОВ

Простейшие операции над элементами массивов:
sum: сумма элементов
prod: произведение

Рассмотрим работу некоторых из этих функций на примере sum
Для векторов эта

Содержание

Выход

Кумулятивная сумма вычисляется так же, только происходит накопление вычисленных значений в

Максимальный и минимальный элементы:

Содержание

Выход

Вызов функций max/min с двумя выходными параметрами позволяет определить и индекс

Функция sort производит сортировку элементов матрицы по столбцам:

Содержание

Выход

ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

All(v) – возвращает истину, если все элементы вектора v отличны

Any(v) – возвращает истину, если хотя бы один элемент вектора v

Содержание

Выход

Поиск в массиве

find: определяет индексы элементов, удовлетворяющих заданному условию

Содержание

Выход

Пример применения команды find к матрицам:

Содержание

Выход

Математические матричные операции

det – вычисление определителя квадратной матрицы

Содержание

Выход

МАТРИЧНЫЕ И ПОЭЛЕМЕНТНЫЕ ОПЕРАЦИИ

При работе с матрицами можно использовать два вида

‘ транспонирование
+ матричное (и поэлементное) сложение
- матричное (и поэлементное) вычитание
* матричное

Содержание

Выход

Такие операции часто используются, если нужно применить какую либо функцию ко

Некоторые операции по умолчанию считаются поэлементными:

Содержание

Выход

Операции «деления» слева и справа

Применяются для решения систем линейных уравнений (СЛУ)
Деление

ГРАФИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ MATLAB

Содержание

Выход

Графика в Matlab

Высокоуровневая
не требует от пользователя детальных знаний о работе

Двумерные (2D-) графики

Простейший способ построения 2D-графика:
задать область построения (диапазон);
вычислить значение функции

Содержание

Выход

Построение второго графика

Если сразу же построить другой график, то старый график

Построение двух графиков в одной системе координат

Два графика в одной СК

Пример закрепления графиков

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Пример построения двух графиков одной командой

В команде plot можно задать для каждого графика
цвет линии тип маркера

Пример команды plot

Содержание

Выход

Построение нескольких графиков в одном окне в разных СК

Поверхность графического окна

Первый subplot

Содержание

Выход

Второй subplot

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Построение графиков в разных графических окнах

Создать новое графическое окно можно командой

figure : пример использования 1

Содержание

Выход

Содержание

Выход

figure : пример использования 2

Axis: управление масштабом

Команда axis([Xmin Xmax Ymin Ymax]) задаёт область построения графиков

Axis не используется

Содержание

Выход

Axis используется

Содержание

Выход

Оформление графиков

Для графиков можно задать
масштабную сетку: grid on
заголовок: title(’заголовок’)
подписи осей: xlabel(’текст’)

Пример оформления графика

Содержание

Выход

Форматирование графиков

Доступно из меню Edit:

Содержание

Выход

Графики функций, заданных параметрически

Строятся при помощи оператора plot
Вначале задаётся диапазон построения

Содержание

Выход

Графики параметрических функций часто возникают в физических приложениях
Независимая переменная t в

Функции в полярной СК

Строятся аналогично графикам функций в декартовой системе
Для построения

Содержание

Выход

Построение
поверхностей
контурных диаграмм (линии равного уровня)
3D-линий
векторных полей
скалярных полей
и др.

Трёхмерная (3D-)

Содержание

Выход

Построение 3D-поверхности

Рассмотрим пример:
построить поверхность f(x,y)=sin(r)/r, где r=sqrt(x2+y2)

Содержание

Выход

Функция meshgrid возвращает две матрицы – X и Y – которые

Функции для построения поверхностей

О других графических функциях можно узнать в системе

ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MATLAB

Содержание

Выход

Типы программных файлов

Написание программ – это альтернатива работе в командной строке
Программный

Скрипты

Представляют собой последовательности команд Matlab
как если бы мы перенесли их из

Полезны для автоматизации последовательности действий, которые выполняются многократно.
Не могут принимать параметры

Функции

Специальный вид m-файлов.
В отличие от скриптов могут принимать аргументы и возвращать

Создание функции преследует целью расширение языка.
Переменные, определённые внутри функции являются локальными
то

Структура функции

Функция состоит из заголовка и тела
function f = fact(n) Заголовок
%

Заголовок функции

function f = fact(n)

Содержание

Выход

Комментарии

Используются для
пояснения кода;
временного исключения кода из текста.
Могут быть строчными и блочными
Строчные

Можно автоматически закомментировать блок текста. Для этого:
выделить блок
щёлкнуть правой кнопкой
выбрать Comment

Создание функции

m-файл можно создать в любом текстовом редакторе.
Например, во встроенном редакторе
при

Использование функции

Функция вызывается по своему имени (которое совпадает с именем её

Входные и выходные параметры

При написании функций в Matlab можно проводить проверку

Содержание

Выход

Подфункции

В файлах-функциях Matlab могут быть реально описаны несколько функций
Синтаксически это оформляется

Содержание

Выход

Вложенные функции

Помимо последовательного вложения в один файл функция может быть описана

Содержание

Выход

Создание p-кода

При вызове m-файла сравнительно много времени тратится на его компиляцию
Чтобы

Интерактивный ввод данных

Используется при написании скриптов
Для ввода числовых данных применяют

Пример использования input

Содержание

Выход

Вывод данных в командное окно

Для этого используют команду disp (от display)

Основные языковые конструкции

Как и любой процедурный язык высокого уровня, Matlab позволяет

Следование

Реализуется перечислением каждого из операторов в отдельной строке
Либо в одной строке

Ветвление

Реализуется в двух вариантах:
при помощи оператора if
при помощи оператора switch

Содержание

Выход

Оператор if

Простейшая форма:
if <логическое выражение>
<операторы>
end

Содержание

Выход

Полный формат оператора if

В полном варианте оператора могут использоваться слова else

Циклы

В Matlab имеется два вида циклов:
цикл с параметром for
цикл c предусловием

Цикл с параметром

Содержание

Выход

Замечание по использованию цикла с параметром

Обычно цикл for используется для обработки

Пример: замена отрицательных элементов вектора на нули (с циклом)

Содержание

Выход

Пример: замена отрицательных элементов вектора на нули (без цикла)

Содержание

Выход

Цикл с предусловием

Синтаксис:
while <логическое выражение>
<операторы>
end
Операторы выполняются, пока логическое

Содержание

Выход

Операторы break и continue

Аналогичны одноимённым операторам Паскаля
Break производит досрочный выход из

Операторы break и continue (пример)

Написать скрипт, который вводит с клавиатуры произвольное количество

Операторы break и continue (решение)

Содержание

Выход

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В MATLAB

Содержание

Выход

Вычисления в Matlab

Пример: вычисление определённого интеграла
По формуле Ньютона: F(x)|ab =F(b)

Средства Matlab для символьных вычислений

Изначально Matlab имел средства только для численного

Создание символьных переменных

Для символьного анализа требуется создать символьные переменные и функции
Символьные

Содержание

Выход

Представление символьных переменных

Содержание

Выход

Символьные вычисления

Преобразования математического анализа
дифференцирование,
пределы,
интегрирование,
разложение в ряд Тейлора
Упрощение

Дифференцирование

Содержание

Выход

Частные производные

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Пределы

Содержание

Выход

Односторонние пределы

Рассмотрим функцию f(x)=x/|x|

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Пределы (сводная таблица)

Содержание

Выход

Интегралы

Содержание

Выход

Интегралы с параметрами

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Суммирование

Содержание

Выход

Разложение в ряд Тейлора

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Пример: исследование функции

Содержание

Выход

Найдём горизонтальную асимптоту

Содержание

Выход

Найдём вертикальные асимптоты

Содержание

Выход

Код для построения асимптот

Содержание

Выход

Изображение асимптот

Содержание

Выход

Экстремумы функции

Содержание

Выход

Построение экстремумов

Содержание

Выход

Операции над полиномами

Реализуются при помощи функций
collect
expand
factor
horner

Содержание

Выход

collect – вычисляет коэффициенты при степенях независимой переменной
по умолчанию – x

expand – представляет полином суммой степеней без приведения подобных

Содержание

Выход

factor – разлагает полином на множители, если эти множители имеют рациональные

Также factor производит каноническое разложение числа:

Содержание

Выход

horner – представляет полином в схеме Горнера:

Содержание

Выход

Упрощение выражений

simplify
реализует мощный алгоритм упрощения с использованием тригонометрических, степенных, логарифмических, экспоненциальных

Simplify

Содержание

Выход

Simple

Содержание

Выход

Simplify против Simple

Иногда simple даёт более удачное решение, чем simplify:

Содержание

Выход

Simple

simple особенно эффективна при работе с тригонометрическими выражениями

Содержание

Выход

Подстановка

subs подставляет одно символьное выражение в другое
Общий формат:
subs(<куда>, <вместо чего>, <что>)

Содержание

Выход

Пример подстановки

Содержание

Выход

Подстановка значения в функцию

Подстановка вместо переменной её числового значения приводит к

Точная арифметика

Точные вычисления реализуются функцией vpa (Variable-Precision Arithmetic)
Формат вызова:
vpa(<выражение>, <значащих цифр>)

Содержание

Выход

Содержание

Выход

Решение уравнений и систем

Выполняет команда solve
До 4-го порядка включительно решаются точно
Ответ

Содержание

Выход

Решение систем

Также выполняет команда solve
Входные аргументы
левые части уравнений
переменные, по которым нужно

Содержание

Выход

Решение дифференциальных уравнений

Выполняет команда dsolve
Если неизвестная функция обозначена символьной переменной y,

MATLAB В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (ТАУ)

Содержание

Выход

Представление и преобразование математических моделей (ММ) динамических систем (ДС).
Задание ДС в

Задание ДС во вход-выходной (ВВ) форме записи
В классической теории управления для

Анализ математических моделей динамических систем

Содержание

Выход

Преобразование ПФ:
[NUMc,DENc]=tfchk(NUM,DEN) – проверяет на соответствие порядки числителя и знаменателя,

Построение частотных характеристик:
[Mod,Fi]=bode(A,B,C,D,ui,w),
[Mod,Fi]=bode(NUM,DEN,w) – возвращает вектор амплитуды и фазы (ui номер

Вычисление переходных процессов:
Y – вектор переходного процесса, t – вектор изменения

Анализ управляемости:
Q=ctrb(A,B) – вычисляет матрицу управляемости Q,
[Ab,Bb,Cb,T]=ctrbf(A,B,C,TOL) – выделение полностью управляемого

Анализ наблюдаемости:
R=obsv(A,C) – вычисляет матрицу наблюдаемости R,
[Ab,Bb,Cb,T]=obsvf(A,B,C,TOL) – выделение полностью наблюдаемого