Оценки параметров генеральной совокупности

Август 6, 2022

Главная
Математика
Оценки параметров генеральной совокупности

Содержание

2. Домашнее задание (проверка) 16. Для вариационного ряда Найдем математическое ожидание, дисперсию, вариацию:
3. Точечные оценки параметров Пусть случайная величина Х имеет закон распределения, зависящий от параметра θ (тэта): F(x,θ).
4. Точечные оценки параметров Оценки называются точечными, так как они оценивают одно численное значение параметра (точку). Пусть
5. Точечные оценки параметров выборочная доля является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли р: Для указанных
6. Пример 1: Из 1500 деталей отобрано 250, распределение которых по размеру Х задано в таблице: Найти
7. Пример 1 (продолжение): Вычислим дисперсию оценки среднего: для повторной выборки: для бесповторной выборки
8. Пример 2: Выборочно обследовали партию кирпича. Из 100 проб в 12 случаях кирпич оказался бракованным. Найти
9. Метод наименьших квадратов для нахождения точечных оценок: Исследуется зависимость двух случайных величин Y и Х по
10. Пример 3: Найти оценки параметров a и b по результатам выборочного наблюдения, если связь между случайными
11. Пример 3 (продолжение): Разделим оба равенства на n и обозначим выборочные средние: Тогда получим систему линейных
12. Интервальные оценки параметров Интервальная оценка параметра дает возможность определить точность и надежность его оценки. Интервальной оценкой
13. Интервальные оценки параметров Обычно доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , т.е. имеет вид , где
14. 1. Доверительный интервал для генеральной средней а а) для повторной выборки б) для бесповторной выборки Величина
15. Пример 4: Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницы было отобрано 625 зерен, обследование
16. Пример 5: Выборочное среднее квадратическое отклонение десяти измерений некоторой величины равно 10 см. Найти с надежностью
17. Пример 6: Из партии в 5000 электрических ламп было отобрано 300 по схеме бесповторной выборки. Средняя
18. 2. Доверительный интервал для генеральной доли признака р: а) для повторной выборки б) для бесповторной выборки
19. Пример 7: В партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди них оказалось 300 изделий высшего сорта.
20. Пример 8: Среди стандартных изделий одной фабрики в среднем 15% относится ко второму сорту. С какой
21. 3. Доверительный интервал для генеральной дисперсии Где и определяются из условия Обычно они определяются так, чтобы
22. Пример 9: Признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Имеется выборка в виде таблицы Найти доверительный интервал,
23. Пример 9 (продолжение): По условию задачи n=20, γ=0,99. Доверительный интервал для генеральной дисперсии равен: Где и
24. 4. Объем выборки n, необходимый для достижения требуемой надежности γ При параметре а повторная выборка –
25. Пример 10: Найти объемы повторной и бесповторной выборок из 10000 банок консервов для определения доли банок,
26. Пример 10 (продолжение): Для бесповторной выборки объем равен В этом случае наибольшее значение выражения w(1-w) соответствует
27. Тестовые вопросы 1. Характеристикой оценок числовых характеристик по результатам выборочных значений является: а) репрезентативность оценки; б)
28. Тестовые вопросы 3. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12. Тогда его интервальная оценка может
29. Тестовые вопросы 5. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие
30. Приложение: Значения Ф(х)
31. Задачи для самостоятельного решения 1. С целью определения средней суммы вкладов Q в банке, имеющем 2200
33. Скачать презентацию

Слайд 2

Домашнее задание (проверка)
16. Для вариационного ряда
Найдем математическое ожидание, дисперсию, вариацию:

Слайд 3

Точечные оценки параметров
Пусть случайная величина Х имеет закон распределения, зависящий от

параметра θ (тэта): F(x,θ). О величине параметра можно судить по конечной выборке из генеральной совокупности.
Оценкой параметра θ называется любая функция от значений выборки , т.е. статистика.
Статистику можно рассматривать как случайную величину. Ее нужно выбирать таким образом, чтобы ее значения точнее оценивали значение неизвестного параметра θ.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание . Для несмещенных оценок устраняется возможность появления систематической ошибки при оценивании параметра θ.
Оценка называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. предел по вероятности .
Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра, т.е. дисперсия

Слайд 4

Точечные оценки параметров
Оценки называются точечными, так как они оценивают одно численное

значение параметра (точку).
Пусть генеральные параметры распределения для случайной величины Х будут (математическое ожидание) и (дисперсия). Тогда для повторной выборки:
выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой параметра а:
выборочная дисперсия является смещенной, состоятельной оценкой параметра : , причем
исправленная выборочная дисперсия является несмещенной, состоятельной оценкой параметра :

Слайд 5

Точечные оценки параметров
выборочная доля является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной

доли р:
Для указанных оценок справедливы формулы:
Для повторной выборки дисперсии
Для бесповторной выборки дисперсия

Слайд 6

Пример 1:
Из 1500 деталей отобрано 250, распределение которых по размеру Х

задано в таблице:
Найти точечные оценки для среднего и дисперсии, а также дисперсию оценки среднего при повторном и бесповторном отборах.
Решение. Вычислим по формулам (используем середины интервалов сi, число интервалов r=6, объем выборки n=250):

Слайд 7

Пример 1 (продолжение):
Вычислим дисперсию оценки среднего:
для повторной выборки:
для бесповторной выборки

Слайд 8

Пример 2:
Выборочно обследовали партию кирпича. Из 100 проб в 12 случаях

кирпич оказался бракованным. Найти оценку доли бракованного кирпича и дисперсию этой оценки.
Решение. По условию задачи число бракованных изделий m=12, объем выборки n=100, тогда оценкой доли бракованных является выборочная доля
Дисперсия этой оценки для повторной выборки равна
А среднее квадратическое отклонение этой оценки равно

Слайд 9

Метод наименьших квадратов для нахождения точечных оценок:
Исследуется зависимость двух случайных величин

Y и Х по их выборкам и . Пусть выбранный вид функции ϕ, устанавливающей эту зависимость, содержит параметры , i=1,2,…,k, тогда их оценки выбираются так, чтобы функция
принимала минимальное значение.
Из необходимого условия экстремума следует решение системы уравнений:

Слайд 10

Пример 3:
Найти оценки параметров a и b по результатам выборочного наблюдения,

если связь между случайными величинами Y и X линейна: .
Объем выборки равен n.
Решение. Используем метод наименьших квадратов. Построим функцию
и найдем ее минимум. Вычислим частные производные и положим их равными нулю:
Решим эту систему относительно a и b:

Слайд 11

Пример 3 (продолжение):
Разделим оба равенства на n и обозначим выборочные средние:
Тогда

получим систему линейных алгебраических выражений:
Эту систему можно решить любым известным методом (Гаусса, Кремера, матричным):
Окончательно получим оценки:

Слайд 12

Интервальные оценки параметров
Интервальная оценка параметра дает возможность определить точность и надежность

его оценки.
Интервальной оценкой параметра θ называется интервал (α,β), который с заданной вероятностью γ (гамма) накрывает неизвестное значение этого параметра.
Интервал (α,β) называется доверительным интервалом, вероятность γ - доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Слайд 13

Интервальные оценки параметров
Обычно доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , т.е.

имеет вид
, где Δ - предельная ошибка выборки. Причем вероятность .
Рассмотрим генеральную совокупность объема N и выборку из нее . Для нее имеем:
выборочное среднее –
выборочную дисперсию –
выборочную долю признака –
которым в выборке обладают m элементов.
Рассмотрим следующие интервальные оценки:

Слайд 14

1. Доверительный интервал для генеральной средней а
а) для повторной выборки
б) для

бесповторной выборки
Величина t определяется:
при n>30 из функции Лапласа Ф(t)=γ,
при n≤30 из вероятности ,
где ξ имеет распределение Стьюдента для (n-1) степени свободы.

Слайд 15

Пример 4:
Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницы было

отобрано 625 зерен, обследование которых показало, что выборочное среднее равно 16,8, а выборочная дисперсия равна 4. Чему равна с вероятностью 0,988 предельная ошибка выборки?
Решение. По условию задачи . Так как генеральная совокупность бесконечна, то используем формулу для
повторной выборки при определении предельной ошибки:
Значение t найдем из условия Ф(t)=γ, т.е. Ф(t)=0,988. По таблице значений функции Лапласа найдем: t=2,51. Найдем предельную ошибку

Слайд 16

Пример 5:
Выборочное среднее квадратическое отклонение десяти измерений некоторой величины равно 10

см. Найти с надежностью γ=0,6 предельную ошибку выборки.
Решение. Здесь n=10<30 и выборка повторная, S=10. По таблицам распределения Стьюдента для γ=0,6 и степени свободы n-1=9 находим t=0,88. Тогда получим предельную ошибку выборки

Слайд 17

Пример 6:
Из партии в 5000 электрических ламп было отобрано 300 по

схеме бесповторной выборки. Средняя продолжительность горения ламп в выборке оказалась равной 1450 часам, а дисперсия – 4000. Найти доверительный интервал для среднего срока горения лампы с надежностью 0,9996.
Решение. По условию задачи γ=0,9996 и объем выборки n=300>30, тогда по таблице значений функции Лапласа находим t из условия Ф(t)=0,9996: t=3,57. Применим
формулу , где и вычислим предельную ошибку
Искомый доверительный интервал будет равен:

Слайд 18

2. Доверительный интервал для генеральной доли признака р:
а) для повторной выборки
б)

для бесповторной выборки
Величина t определяется из функции Лапласа Ф(t)=γ.

Слайд 19

Пример 7:
В партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди них оказалось

300 изделий высшего сорта. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для доли изделий высшего сорта в случаях повторной и бесповторной выборок.
Решение. По условию задачи имеем:
По значению функции Лапласа Ф(t)=0,95 определим t=1,96.
1) Для повторной выборки предельная ошибка доли равна
Тогда доверительный интервал равен:
2) Для бесповторной выборки предельная ошибка доли равна
Тогда доверительный интервал равен:

Слайд 20

Пример 8:
Среди стандартных изделий одной фабрики в среднем 15% относится ко

второму сорту. С какой вероятностью можно утверждать, что процент изделий второго сорта среди 1000 стандартных изделий данной фабрики отличается от 15% не более чем на 2%?
Решение. По условию задачи имеем n=1000, w=15%/100%=0,15, Δ=2%/100%=0,02.
Требуется найти вероятность
Найдем t из формулы , тогда
Используя значения из таблицы функции Лапласа найдем

Слайд 21

3. Доверительный интервал для генеральной дисперсии
Где и определяются из условия

Обычно они определяются так, чтобы
Тогда по таблице распределения Хи-квадрат со степенью свободы (n-1) они определяются из условий

Слайд 22

Пример 9:
Признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Имеется выборка в виде

таблицы
Найти доверительный интервал, накрывающий среднее квадратическое отклонение с вероятностью 0,99.
Решение. Вычислим выборочные характеристики:

Слайд 23

Пример 9 (продолжение):
По условию задачи n=20, γ=0,99.
Доверительный интервал для генеральной

дисперсии равен:
Где и определяются из условий:
Т.е.
Найдем по таблицам критерия Пирсона (Хи-квадрат) величины
(меньше табличного 7,63 для вероятности 0,99),
(больше табличного 36,2 для вероятности 0,01),

Слайд 24

4. Объем выборки n, необходимый для достижения требуемой надежности γ
При параметре

а
повторная выборка –
бесповторная выборка –
2) При параметре р
повторная выборка –
бесповторная выборка –
Замечание: При N→ в бесконечность, формулы для бесповторной выборки совпадут с формулами для повторной выборки.

Слайд 25

Пример 10:
Найти объемы повторной и бесповторной выборок из 10000 банок консервов

для определения доли банок, не соответствующих стандарту. Предполагается, что предельная ошибка выборки не превосходит 0,05 с доверительной вероятностью 0,9995.
Решение. По условию задачи N=10000, Δ=0,05, γ=0,9995.
По таблице значений функции Лапласа Ф(t)=0,9995 найдем t=3,5.
1) Для повторной выборки объем равен
Так выборочная доля w по условию задачи неизвестна, тогда выберем его таким, чтобы выражение w(1-w) было максимальным. Это условие достигается при w=0,5 (вычислим производную функции и положим ее равной нулю: (w(1-w))’=1-2w=0 ). Тогда завышенное значение n будет равно n=4900*0,5*0,5=1225.

Слайд 26

Пример 10 (продолжение):
Для бесповторной выборки объем равен
В этом случае наибольшее значение

выражения w(1-w) соответствует максимальному n. Положим w=0,5, тогда
Вопрос: Для расчета средней арифметической статистической совокупности используется формула (n – объем выборки, xi – выборочные значения):
1) 2) 3)

Слайд 27

Тестовые вопросы
1. Характеристикой оценок числовых характеристик по результатам выборочных значений является:
а)

репрезентативность оценки;
б) несмещенность оценки;
в) сходимость любой оценки к математическому ожиданию теоретического распределения;
г) независимость оценки от объема выборки.
2. Определение искомой характеристики генеральной совокупности внутри какого-то интервала с заданной вероятностью, называется
а) интервальной оценкой;
б) точечной оценкой;
в) выборочной оценкой;
г) качественной оценкой.

Слайд 28

Тестовые вопросы
3. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12. Тогда

его интервальная оценка может иметь вид …
а) (10,6; 13,4)
б) (12; 13,7)
в) (10,8; 12)
г) (11,2; 11,8)
4. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 15. Тогда его интервальная оценка может иметь вид...
а) (13,8; 15)
б) (13,8; 16,2)
в) (15; 16,2)
г) (13,8; 14,1)

Слайд 29

Тестовые вопросы
5. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без

систематических ошибок) получены следующие результаты: 10, 13, 13. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна:
а) 6;
б) 2;
в) 12;
г) 3.
6. По городской телефонной сети было произведено 100 наблюдений и установлено, что средняя продолжительность телефонного разговора составляет 4 минут при среднеквадратичном отклонении 2 мин. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 составляет
а) 0,2;
б) 0,3;
в) 0,4;
г) 0,5.

Слайд 30

Приложение: Значения Ф(х)

Слайд 31

Задачи для самостоятельного решения
1. С целью определения средней суммы вкладов Q

в банке, имеющем 2200 вкладчиков, проведено выборочное обследование (бесповторный отбор), результаты которого имеют вид:
Найти с вероятностью 0,96 доверительные границы для Q.
2. При формировании портфеля поставок был произведен случайный повторный отбор 100 поставщиков, осуществлявших поставки ранее. Для процента w несвоевременно отгрузивших сырье поставщиков необходимо определить доверительные границы на уровне 0,997, если в выборке оказалось 25 таких поставщиков.
3. В выборке объемом 500 единиц, произведенной для определения процента всхожести семян, установлена частость доброкачественных семян 0,94. Найти вероятность процента всхожести, если допустимая погрешность в его определении равна 2%.

Оценки параметров генеральной совокупности

Содержание

Домашнее задание (проверка)16. Для вариационного рядаНайдем математическое ожидание, дисперсию, вариацию:

Точечные оценки параметровПусть случайная величина Х имеет закон распределения, зависящий от

Точечные оценки параметровОценки называются точечными, так как они оценивают одно численное

Точечные оценки параметроввыборочная доля является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной

Пример 1:Из 1500 деталей отобрано 250, распределение которых по размеру Х

Пример 1 (продолжение):Вычислим дисперсию оценки среднего:для повторной выборки: для бесповторной выборки

Пример 2:Выборочно обследовали партию кирпича. Из 100 проб в 12 случаях

Метод наименьших квадратов для нахождения точечных оценок:Исследуется зависимость двух случайных величин

Пример 3:Найти оценки параметров a и b по результатам выборочного наблюдения,

Пример 3 (продолжение):Разделим оба равенства на n и обозначим выборочные средние:Тогда

Интервальные оценки параметровИнтервальная оценка параметра дает возможность определить точность и надежность

Интервальные оценки параметровОбычно доверительный интервал симметричен относительно точечной оценки , т.е.

1. Доверительный интервал для генеральной средней аа) для повторной выборкиб) для

Пример 4:Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницы было

Пример 5:Выборочное среднее квадратическое отклонение десяти измерений некоторой величины равно 10

Пример 6:Из партии в 5000 электрических ламп было отобрано 300 по

2. Доверительный интервал для генеральной доли признака р:а) для повторной выборкиб)

Пример 7:В партии, содержащей 5000 изделий, проверено 400. Среди них оказалось

Пример 8:Среди стандартных изделий одной фабрики в среднем 15% относится ко

3. Доверительный интервал для генеральной дисперсии Где и определяются из условия

Пример 9:Признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Имеется выборка в виде

Пример 9 (продолжение):По условию задачи n=20, γ=0,99. Доверительный интервал для генеральной

4. Объем выборки n, необходимый для достижения требуемой надежности γПри параметре

Пример 10:Найти объемы повторной и бесповторной выборок из 10000 банок консервов

Пример 10 (продолжение):Для бесповторной выборки объем равенВ этом случае наибольшее значение

Тестовые вопросы1. Характеристикой оценок числовых характеристик по результатам выборочных значений является:а)

Тестовые вопросы3. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12. Тогда

Тестовые вопросы5. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без