Параллельные прямые. Обратные теоремы

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.

1

2

а

b

c

c

а

b

1

2

c

а

b

1

2

Если при пересечении двух прямых
секущей накрест лежащие углы равны,
то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
a II b, c b ⇒ c a

Аксиома параллельности и следствия из неё.

а

А

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
a II с, b II с ⇒ a II b

c

b

а

b

M

N

Дано: a II b, MN- секущая.
Доказать: 1= 2 (НЛУ)
Доказательство:
способ от противного.
Допустим, что 1 2.

Отложим от луча МN угол NМР, равный углу 2.
По построению накрест лежащие углы NМР= 2
РМ II b.
Получили, что через точку М проходит две прямые (а и МР), параллельные прямой b !!! Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше допущение неверно!!!
1= 2. Теорема доказана.

1

2

Р

b

а

c

3

Дано: а II b, c- секущая.
Доказать: OУ 1+ 2=1800.

Доказательство:
3+ 2 =1800, т. к. они смежные.
1= 3, т. к. это НЛУ при а II b

3 + 2 =1800

1

Теорема доказана.

Если

то

условие

заключение теоремы
две параллельные прямые пересечены секущей,
сумма односторонних углов равна 1800.

М

N

В

A

B

Задача

Если MN II AB, а угол 2 больше угла 1 на 300, то угол 2 равен…

Решение:
1= х,
2= х+30
1= ВОС,
они вертикальные.

С

b

а

c

3

Дано: а II b, c- секущая.
Доказать: СУ 1 = 2.

Доказательство:
2 = 3, т. к. они вертикальные.
3 = 1, т. к. это НЛУ при а II b

1 = 3 = 2

Теорема доказана.

Если

то

условие

заключение теоремы

две параллельные прямые пересечены секущей,
соответственные углы равны.

a

b

136

1

440

440

aIIb

aIIb

2

2

3

a

b

1340

2

aIIb

1: 2 = 4 : 5.

aIIb

1

2

Решение:
2=х,
1 на 20% меньше, т.е. 80%
1=0,8х
2=х
1800, т.к. ОУ при 1=0,8х а II b
Составь уравнение…
Найди сам все углы…

5

Задача

х

х+30

Угол 1 на 300 больше угла 2

Угол 2 составляет 0,8 части угла 1

х

0,8х

5х

4х

Пусть х – 1 часть

х

0,8х

5х

4х

AB = BC, A=600,
CD – биссектриса угла ВСЕ.
Докажите, что АВ II CD.

A

С

B

D

E

600

600

1200

600

600

биссектриса

Пусть х – 1 часть

а

b

m

d

1100

400

400

400

1100

1100

1100

С

D

M

A

400

B

с

D

M

400

E

а

b

N

5,8 см

?