Решение тригонометрических уравнений

Содержание

Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшие тригонометрические уравнения

Определение арксинуса
Уравнение sin t = a
Определение

Определение арксинуса

Арксинусом числа а называется
такой угол из промежутка [− 0,5π;

Уравнение sin t = а

−1

x

у

0

а

arcsin a

π − arcsin a

1

t

π −

t = (−1)n arcsin a + πn, n∈Z

Уравнение sin t =

1 частный случай

0

x

0

π

−1

1

t = πn, n∈Z

sin t = 0

y

1

−1

2 частный случай

1

x

0

−1

1

sin t = 1

−1

y

3 частный случай

x

0

1

y

−1

sin t = − 1

1

−1

Определение арккосинуса

Арккосинусом числа а называется
такой угол из промежутка [ 0;

Уравнение cos t = а

−1

x

у

0

а

arccos a

− arccos a

1

t

− t

1

−1

Уравнение cos t = а

C учетом периодичности:

Объединив в одну формулу:

Пример

1 частный случай

1

x

0

−1

−1

1

cos t = 0

y

2 частный случай

0

x

0

1

cos t = 1

−1

t = 2πn, n∈Z

y

1

−1

3 частный случай

1

x

0

π

1

y

−1

t = π + 2πn, n∈Z

−1

cos t = −

Определение арктангенса

Арктангенсом числа а называется
такой угол из промежутка (− 0,5π;

arctg a

Уравнение tg t = а

1

x

у

0

t

Линия тангенсов

а

−1

−1

1

t = arctg a

Определение арккотангенса

Арккотангенсом числа а называется
такой угол из промежутка (0; π),

arcсtg a

Уравнение сtg t = а

1

x

у

0

t

Линия котангенсов

а

−1

−1

1

t = arcсtg a

Примеры

Пример 1Пример 1. sin x = −
Пример 2Пример 2. cos x

Пример 1 sin t =

Пример 2 cos x =

Пример tg x = − 1

x = arctg (− 1) +

Пример сtg x =

Простейшие тригонометрические неравенства

Неравенство sin x ≥ a
Неравенство cos x

-2π

0

2π

1

Неравенство sin x ≥ a

y = а

y = sin x

y

x

a

arcsin a

-π-arcsin

Неравенство sin x ≥ a

arcsin a + 2πn ≤ x ≤

Неравенство cos x < a

y = а

y = cos x

y

x

0

a

arccos a

−arccos

Неравенство cos x < a

arccos a + 2πn < x <

2π

Неравенство tg x > a

y = tg x

y

x

a

y = а

0

π

-2π

-π

arctg a

π+arctg

Неравенство tg x > a

C учетом периодичности:

Ответ:

Неравенство ctg x ≤ a

y

a

-1

ctg x ≤ a

x

0

y = а

y =

Неравенство ctg x ≤ a

C учетом периодичности:

Ответ:

arcctg a ≤ x

Примеры

Пример 1Пример 1. sin x ≥
Пример 2Пример 2. sin x <

0

1

y = 0,5

y = sin x

y

x

0,5

2

3

-1

-2

-3

Пример 1: sin x ≥

C учетом периодичности:

Ответ:

-2π

-π

2π

π

-1

Пример 2: sin x < −

y

x

0

1

2

3

-2

-3

C учетом периодичности:

Ответ:

Пример 3: cos x ≤ .

y = 0,5

y = cos x

y

x

0

0,5

π

-π

2π

-2π

2

3

-1

-2

-3

C учетом периодичности:

Ответ:

Пример 3: cos x ≤ .

Пример 4: cos x > .

y = cos x

x

0

0

2

3

-2

-3

π

-π

y