Параллельный перенос

произвольная точка (х; у; z) фигуры F переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a, b, c – постоянные. Параллельный перенос в пространстве задаётся формулами х1=х+а, у1=у+b, z1=z+c.

2.При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3.При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).
4.Каковы бы ни были две точки А и А1, существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А1.
5.При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскостью

параллельном переносе на вектор

и

Любые две точки

переходят в точки

и

.Требуется доказать, что

или

(Рис. 13)

между точками сохраняется, значит, параллельный перенос является движением.

этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 233). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, У. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.
Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 234). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k-ОХ, где k — положительное число.
Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.

— коэффициент гомотетии, X и У — две произвольные точки фигуры (рис. 235).

У на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k.OX, OY'= = k.OY. Отсюда следуют векторные равенства
Вычитая эти равенства почленно, получим:
Значит, |X'Y'|=-k |ХУ|, т. е. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.