Пересечение поверхности плоскостью

Замкнутая фигура, образованная линией пересечения поверхности тела секущей плоскостью, называется сечением

Линия

Пересечение проецирующей поверхности
с проецирующей плоскостью

Прямой круговой цилиндр занимает горизонтально проецирующее положение

Пара прямых

α ⎜⎜П3

α12

Секущая плоскость – горизонтально проецирующая

α11

α

α13

α∩Ф=k, kI

k

kI

k2≡(kI2)

k3

kI3

k

kI

α ⊥П2;

α ⊥П1

k1

kI1

Ф

Ф

β2

Секущая плоскость фронтально- проецирующая

β ⊥П2;

t

Ф

t2

t1

t3

t

β

β3

β1

β∩Ф=t

эллипс

Горизонтальная проекция линии сечения совпадает со следом проецирующего цилиндра, фронтальная –

Пара прямых

эллипс

окружность

λ2

λ⊥П2

Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения прямого кругового цилиндра

λ ⎜⎜П1;

λ3

λ1

λ

γ2 ≡k2

k1

f1

f2

t2

g2

g1

t1

γ⊥П2

Секущая плоскость фронтально – проецирующая

k1

γ2 ≡k2

k

γ

γ3

γ1

k3

Призма занимает горизонтально проецирующее положение

Пересечение поверхности общего положения с проецирующей плоскостью

Конические сечения (коники)

Аполлоний Пергский

262 год до н. э.

http://ru.wikipedia.org/wiki/http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл:http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл:Apollonios_of_Perga.jpeg

Аполлоний прославился в первую

точка

α1

Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения

α12

α1

α11

α13

α2 ⎜⎜ П1

А

А2

А1

А3

α22

α21

α2

α23

α2 ⎜⎜ П1

Секущая плоскость перпендикулярна оси вращения

α2

окружность

точка

α1

Секущая плоскость фронтально – проецирующая

α2

окружность

точка

α1

α3

ϕ

ϕ≠90о

α32

α31

α3

α33

α2

окружность

точка

α1

α3

эллипс

ϕ

ϕ≠90о

Секущая плоскость фронтально-проецирующая, параллельная очерковой образующей

α2

окружность

точка

α1

α3

эллипс

α4

//

//

ϕ

α4 ⊥ П2;

α4 ⎜⎜ ℓ2;

ℓ2

α42

α43

α2

окружность

точка

α1

α3

эллипс

α4

парабола

//

//

ϕ

Секущая плоскость параллельна оси вращения

α2

окружность

точка

α1

α3

эллипс

α5

парабола

//

//

ϕ

///

///

α4

Гипербола

Секущая плоскость проходит через ось вращения

Пара прямых

α5

α5∈ i

Задача

β2

γ21

γ22

А2

А1

111

11

21

211

В1

В11

В21≡В2

221≡22

121≡12

γ2гм

R

Построить линию пересечения поверхности тора фронтально проецирующей плоскостью β

Пересечение поверхности общего положения с плоскостью общего положения

Обе проекции искомой линии пересечения строятся в плоскостях П1 и П2,

1. Поверхность и плоскость пересекают вспомогательной плоскостью посредником γ.

2. Находят линию

α2

α1

α

α3

Главный меридиан П3

очерк

( )

НТ3

ВТ3

ВТ1

ВТ2

НТ2

НТ1

S3

S2

S1

S

1

β

β

γгм П2≡f1

f3

f2

γ12

γгм

11

21

12

22

13≡23

1

2

α2

α

α3

НТ3

ВТ3

ВТ1

ВТ2

НТ2

НТ1

γ22

γ22

Ф

MN2

MN1

α1

А1

С1

В1

В2

С2

А2

Задача

ί2

ί1

h2

C2B2(h2)≡ox

αгм П2≡f1

γгм П1П4

П2

П1

Х1,2

Х1,4

П4

П1

αгм

f2

f1

//

//

γ14

γ24

S2

S1

G2

Q2

Q1

G1

h1

С4≡B4

А4

ВТ4

НТ4

НТ1

ВТ1

(ВТ2)

НТ2

14≡114

11

111

R

12

112

24≡214

21

211

22

212

z

z

Пересечение прямой с поверхностью

Алгоритм

1. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость

Поверхность занимает проецирующее положение, прямая общего положения

α2

α1

α

α3

11

21

31

Поверхность третьего порядка

Поверхность занимает общее положение, прямая общего положения