Перпендикуляр и наклонная

проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство. Пусть прямая c плоскости π перпендикулярна проекции A’B’ наклонной AB’, AA’ – прямая, перпендикулярная плоскости π, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым A’B’ и AA’. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АA’В’ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ’.

этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.

Доказательство. Пусть прямая c плоскости π перпендикулярна наклонной AB’, AA’ – прямая, перпендикулярная плоскости π, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB’ и AA’. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АA’В’ и, следовательно, она будет перпендикулярна ортогональной проекции A’B’ наклонной АВ’.

наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Доказательство. Пусть AB’ – наклонная к плоскости π, AA’ – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость. Соединим отрезком точки A’ и B’. Треугольник AA’B’ прямоугольный, AB’ – гипотенуза, AA’ – катет. Следовательно, AA’ < AB’.

отрезку; в) больше отрезка?

Упражнение 3

Ответ: а) Да;

б) да;

в) нет.

проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?

Ответ: Нет.

Упражнение 4

ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?

Ответ: Да.

Упражнение 5

том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр?

Ответ: Да.

Упражнение 6

данной точки.

Ответ: Окружность.

Упражнение 7

8

Ответ: Плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и перпендикулярная этому отрезку.

не принадлежащих одной прямой.

Упражнение 9

Ответ: Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника с вершинами в данных точках, и перпендикулярная плоскости этого треугольника.

перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

Упражнение 10

BCC1; б) BDD1; в)* BDA1.

Ответ. а) точка B;

Упражнение 11

б) точка пересечения прямых AC и BD;

в) точка пересечения прямых AC1 и плоскости BDA1.

ABC; б) BCC1; в) BDD1.

Ответ. а) отрезок AB;

Упражнение 12

б) отрезок BB1;

в) отрезок, соединяющий точку B1 и середину отрезка BD.

плоскость BDD1.

Упражнение 13

плоскость: а) ABC; б) BCC1.

Ответ. а) отрезок AC;

Упражнение 15

б) отрезок, соединяющий точку C1 и середину отрезка BC.

длину ортогональной проекции отрезка AC1 на плоскость BCC1.

Упражнение 16

плоскость: а) A1B1C1; б) ACC1.

Ответ. а) точка B1;

Упражнение 17

б) середина отрезка AC.

A на плоскость: а) A1B1C1; б) CDD1; в) DEE1; г) BDD1; д) BEE1; е) BFF1; ж) CEE1; з) CFF1.

Ответ. а) A1;

Упражнение 18

б) C;

в) E;

г) B;

д) точка пересечения прямых BE и AC;

е) точка пересечения прямых BF и AD;

ж) точка пересечения прямых CE и AD;

з) точка пересечения прямых CF и AE.

AC1 на плоскость: а) ABC; б) CDD1; в) CEE1; г) CFF1; д) BEE1; е) DFF1.

Ответ. а) отрезок AC;

Упражнение 19

б) отрезок CС1;

в) отрезок, соединяющий точку C1 и середину отрезка CE;

г) отрезок, соединяющий точку C1 и точку пересечения AF и AE;

д) отрезок, соединяющий точку пересечения AC и BE с точкой пересечения A1C1 и B1E1;

е) отрезок FD1;

прямой AB1.

Упражнение 20

плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.

Ответ: 12 см.

Упражнение 21

плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, ∠BAC = 60°.

Ответ: 12 см.

Упражнение 22

плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AB, если AC = см, BC = 3AB.

Ответ: 2 см.

Упражнение 23

см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.

Ответ: 9 см.

Упражнение 24

α. Точка D принадлежит отрезку AC и AD:DC = 2:3. Найдите отрезок AD и его проекцию на плоскость α, если известно, что AB = 9 см.

Ответ: 6 см; 4,8 см.

Упражнение 25

20 и 15 см. Через вершину A проведена плоскость α, параллельная прямой BC. Проекция одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

Упражнение 26