Понятие производной

решён ещё в древности. Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определения скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к производной плоской кривой.
Первая из этих задач была впервые решена Ньютоном. Функцию он называл флюэнтой, т.е. текущей величиной (от латинского fluere – течь), производную же – флюксией (от того же fluere). Ньютон обозначал функции последними буквами латинского алфавита u, x, y, z, а их флюксии, т.е. производные от флюэнт по времени, - соответственно теми же буквами с точкой над ними:     

бесконечно малое приращение времени dt, которое он обозначал знаком О, отличным от нуля. Выражение xO, обозначаемое ныне
и называемое дифференциалом (dx), Ньютон называл моментом.
Ньютон пришёл к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате, названном им «Метод флюксий и бесконечных рядов», который был составлен около 1671 г. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в., однако вышеназванный его трактат был опубликован посмертно лишь в 1736 г.

Исаак Ньютон
(1643-1727)

волновал вопрос о нахождении общего метода для построения касательной в любой точке кривой. Задача эта была связана также с изучением движений тел и с отысканием экстремумов наибольших и наименьших значений разных функций.
Некоторые частные случаи решения задач были даны ещё в древности. Так, в «Началах» Евклида дан способ построения касательной к окружности, Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя, Апполоний – к эллипсу, гиперболе и параболе. Однако древнегреческие учёные не решили задачу до конца, т.е. не нашли общего метода, пригодного для построения касательной к любой плоской кривой в производной её точке.

Торричелли, Вивиани, Роберваль, Барроу, пыталось найти решение вопроса, прибегая к кинематическим соображениям. Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в «Геометрии» Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Рене Декарт
(1596-1650)

полнее своих предшественников решил задачу, о которой идёт речь, создав соответствующий алгоритм. У него задача нахождения tgϕ , т.е. углового коэффициента касательной в точке М к плоской кривой, определяемой функцией y = f(x), сводится к нахождению производной функции y по независимой переменной x при данном её значении (или в данной точке) x=x1.

Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646-1716)

понятие производной в науке и технике. Ускорение есть производная от скорости по времени, теплоёмкость тела есть производная от количества тепла по температуре, скорость радиоактивного распада есть производная от массы радиоактивного вещества по времени и т.п. Изучение свойств и способов вычисления производных и их применение к исследованию функций составляет главный предмет дифференциального исчисления. 
Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684 г. Это был мемуар, появившийся в основном им же в 1682 г. математическом журнале «Acta Eruditorum» (прототип «Учебных записок») и озаглавленный «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый для этого род исчисления». В этой статье, состоящей всего лишь из 6 страниц, содержится изложение существа метода исчисления бесконечно малых, в частности излагаются основные правила дифференцирования. Итак, если в «Методе флюксий» в качестве первоначального понятия фигурирует скорость, то в «Новом методе» Лейбница таким понятием является касательная.

ординаты – через dy. Ныне употребляемый символ производной  
берёт своё начало от Лейбница. У Лейбница основным понятием была не производная, для которой он даже специального термина не имел, а дифференциал.
В середине XVIII в. Эйлер стал пользоваться греческой буквой ∆ для обозначения приращений переменных величин, т.е. ∆y = y2 – y1, ∆х = x2 – x1 и т.д. Это обозначение сохранилось поныне. Мы пишем:

термин «производная» впервые встречается у француза Луа Арбогаста в его книге «Вычисление производных», опубликованной в Париже в 1800 г. Этим термином сразу же стал пользоваться и Лагранж. Термин этот быстро вошёл в общий обиход, а Коши, используя начальную букву этого термина, стал обозначать производную символом Dy или Df(x).
Терминология Ньютона (флюэнты, флюксии) и его символы производной утратили своё значение. Лишь в физике и механике в некоторых случаях обозначают точками над буквами производные по времени.

приращения функции ∆ y к приращению аргумента ∆ x при ∆x  → 0, понятие производной стало фундаментальным в дифференциальном исчислении, а понятие дифференциала определяется на основе производной.
В математике производную применяют для:
Исследования функции на монотонность, экстремумы.
Нахождения касательной к графику.
Нахождения наибольших, наименьших значений функций.
Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.
Для доказательства неравенств

Огюстен Луи Коши
(1782-1857)

существует конечный предел отношения
при Δx → 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке x0:

функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента.
Производная функции y = f (x) может также обозначаться одним из следующих способов: