Последовательности: путешествие вглубь веков

Сентябрь 16, 2022

Главная
Математика
Последовательности: путешествие вглубь веков

Содержание

2. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте
3. Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст
4. В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры,
5. Как Архимед вычислял площадь круга… Вначале Архимед вписывал в круг шестиугольник, затем на каждой стороне построил
6. В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым
7. В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь: 1, 2,
8. Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении “Квадратура параболы”, сводится к суммированию бесконечно убывающей геометрической
9. Пифагор и последовательности Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с
10. В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было
11. Зададим эту последовательностей формулой п-ого члена. Последовательность (ап) треугольных чисел получается из последовательности натуральных чисел 1,
12. Последовательность (bп) квадратных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, ... ,
13. Последовательность (cп) пятиугольных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел 1, 4, 7, ... ,
14. У европейцев правило для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессии встречается впервые в сочинении Леонардо Пизанского
15. "Книге абака" представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и
16. Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой
17. Задача Фибоначчи : Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы
18. Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему
19. Чтобы ответить на вопрос задачи, воспользуемся следующей схемой. Кружочек — это пара кроликов. Стрелка, направленная вниз,
20. «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Ряд чисел 0, 1, 1, 2,
21. Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n- м месяце через Uk , то
22. Числа un, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
23. Сведения из истории Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том,
24. В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100,
25. Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была выведена в первой половине XVII
26. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. В печати же эти мысли отчетливо прозвучали
27. В начале XIII века в городе Пизе (Италия) жил большой знаток всевозможных соотношений между числами и
28. Одна из задач, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о поиске наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных
29. Сущность "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить
30. Еще одна задача интересна в исторической связи и носит имя "задачи о семи старухах". Старухи направляются
31. Общее число всего перечисленного 7+49+343+2401+16807+117649=137256 1 7 6 5 4 3 2 У каждой старухи 7
32. Другой способ решения задачи 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 –это геометрическая прогрессия, первый член b1=
33. Искусство Леонардо в решении числовых задач изумляло всех. Высокая репутация Фибоначчи привлекла однажды (в 1225 г.)
34. В XIX веке в Пизе был поставлен памятник учёному
36. Скачать презентацию

Слайд 2

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в

документах Древней Греции.
В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:
1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)

Слайд 3

Примеры отдельных арифметических и геометрических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских

и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. В древней Греции еще пять столетий до н.э. были известны такие суммы:
1+2+3+…+n=½n(n+1);
1+3+5+…+(2n-1)=n2;
2+4+6+…+2n=n(n+1).

Слайд 4

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся

ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.
В трудах АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.

Слайд 5

Как Архимед вычислял площадь круга…
Вначале Архимед вписывал в круг

шестиугольник, затем на каждой стороне построил равнобедренный треугольник – получался двенадцатиугольник. Постепенно удваивая число сторон, Архимед получил 24-угольник, 48-угольник и, наконец, 96-угольник. Построенные многоугольники все более и более покрывали собой площадь круга, как бы постепенно “исчерпывая” ее. Между прочим, этот метод нахождения площади круга до сих пор, через 2200 лет после смерти Архимеда, излагается в современных школьных учебниках геометрии.

Слайд 6

В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со

знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда…

Слайд 7

В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает

между ними связь:
1, 2, 3, 4, 5, …
10, 102, 103, 104, 105, …
и указывает на связь между ними, например:
103·105=103+5=108,
т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

Слайд 8

Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении “Квадратура параболы”, сводится

к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Слайд 9

Пифагор и последовательности
Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики

рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:
- последовательность (ап) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, ... ;
- последовательность (bп) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ;
- последовательность (сп) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...

Слайд 10

В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно,

отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.

Слайд 11

Зададим эту последовательностей формулой п-ого члена.
Последовательность (ап) треугольных чисел получается из

последовательности натуральных чисел 1, 2, 3, ... , т. е. из арифметической прогрессии, в которой первый член и разность равны 1, следующим образом:
а1 = 1, а2 = 1 + 2, а3 = 1 + 2 + 3, ап = 1 + 2 + 3 + ... + п.
Значит, ап = (1 + п ):2·п.

Слайд 12

Последовательность (bп) квадратных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел

1, 3, 5, ... , т. е. из арифметической прогрессии, первый член которой равен 1 и разность равна 2:
b1= 1, b2 = 1 + 3, bз = 1 + 3 + 5, …, bn = 1 + 3 + 5 + ... + 2п- 1.
Следовательно, bn =(1+2n-1):2·n; bn=n2 . Мы пришли к формуле, очевидной для последовательности квадратных чисел.

Слайд 13

Последовательность (cп) пятиугольных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел

1, 4, 7, ... , т. е. из арифметической прогрессии, первый член которой равен 1 и разность равна 3: с1= 1, с2 = 1 + 4,
bз = 1 + 4 + 7, …, сn = 1 + 4 + 7 + ... +(1+3( п- 1)).
Следовательно, сn =(1+1+3( п- 1)):2·n; сn=(3n-1)·n/ 2

Слайд 14

У европейцев правило для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессии встречается

впервые в сочинении Леонардо Пизанского «Книга об абаке» (1202 г.)

Последовательность Фибоначчи

Слайд 15

"Книге абака" представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические

и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами. Сообщаемый в этой книге материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого тракта.

Слайд 16

Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении

кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именуемой впоследствии "рядом Фибоначчи".

Слайд 17

Задача Фибоначчи :
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном

со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Слайд 18

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй

месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары(так как из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (так как потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Слайд 19

Чтобы ответить на вопрос задачи, воспользуемся следующей схемой. Кружочек — это

пара кроликов. Стрелка, направленная вниз, указывает на эту же пару в следующем месяце; а стрелка, направленная вправо, указывает на появившееся потомство этой пары.

Слайд 20

«Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится».
Ряд чисел

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

Слайд 21

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n- м

месяце через Uk , то u1=1, u2=1, u3=2, u4=3, u5=5, u6=8, u7=13, u8=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом:
un =un-1 + un-2 при всех n >2,
ведь число пар кроликов на n-1 м месяце равно числу n-2 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом un-2 пар кроликов, родившихся на n-2 ом месяце (так как лишь эти пары кроликов дают потомство).

Слайд 22

Числа un, образующие последовательность
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются
числами Фибоначчи", а сама последовательность ––
последовательностью Фибоначчи.
Суть последовательности Фибоначчи в том, что
начиная с третьего числа каждое следующее число
получается сложением двух предыдущих .

Слайд 23

Сведения из истории
Сами по себе прогрессии известны так давно, что

конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом и разностью, равных 1.
О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2.

Слайд 24

В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех

натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.
1+2+3+4+…+98+99+100 =
= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=
=101x50 =5050.

Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году.

Слайд 25

Общая формула для вычисления суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии была

выведена в первой половине XVII века несколькими математиками (среди них был французский математик Пьер Ферма)

Слайд 26

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед.
В

печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика», который составил такую таблицу:

Слайд 27

В начале XIII века в городе Пизе (Италия) жил большой

знаток всевозможных соотношений между числами и весьма искусный вычислитель Леонардо (с добавлением к его имени Пизанский). Его звали еще Фибоначчи, что значит сын Боначчи. В 1202 году он издал книгу на латинском языке под названием «Книга об абаке» (Incipit Liber, Abbaci compositus a Leonardo filius Bonacci Pisafto), которая содержала в себе всю совокупность знаний того времени по арифметике и алгебре. Это была одна из первых книг в Европе, учившая употреблять десятичную систему счисления. Автор познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. Это был труд, в котором были собраны все известные на то время задачи. Книга Леонардо Пизанского получила широкое распространение и более двух веков являлась наиболее авторитетным источником знаний в области чисел.

Историческая справка

Слайд 28

Одна из задач, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о поиске наилучшей

системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задачей о гирях". В русской историко-математической литературе "задача о гирях" известна под названием "задачи Баше-Менделеева", названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который разместил эту задачу в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.) и блестящего русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей будучи директором Главной Палаты мер и весов России.

Слайд 29

Сущность "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея

их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Q от 0 до максимального груза Qmax, чтобы значение максимального груза Qmax было бы наибольшим среди всех возможных вариаций? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири позволено класть на свободную чашу весов; (2) когда гири позволяется класть на обе чаши весов. В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, ..., а появляющийся при этом "оптимальный" алгоритм или способ измерения рождает двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров. Во втором случае наилучшей является троичная система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, ..., а возникающий при этом способ измерения рождает троичную симметричную систему счисления, которая была применена в троичном компьютере Сетунь, построенном в 50-е годы в МГУ.

Слайд 30

Еще одна задача интересна в исторической связи и носит имя "задачи

о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?
В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

Слайд 31

Общее число всего перечисленного
7+49+343+2401+16807+117649=137256
1
7
6
5
4
3
2
У каждой старухи 7 мулов - всего

49 мулов

Каждой мул тащит 7 мешков- всего 343 мешка

В каждом мешке 7 хлебов - всего 2401 хлеб

У каждого хлеба лежит 7 ножей –всего 16807ножей

Каждый нож нарежет 7 кусков хлеба – всего 117649 кусков хлеба

Слайд 32

Другой способ решения задачи
7, 49, 343, 2401, 16807, 117649
–это

геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7.
bn= b1 q n-1. b6= 7 ·76-1= 7 ·75= 76= 117649.
Sn =(b1(q n -1))/(q-1);
S6 = (7(7 6 -1))/(7-1) = (7(117649 -1))/6=
=7 ·117648:6=137256.

Слайд 33

Искусство Леонардо в решении числовых задач изумляло всех. Высокая репутация Фибоначчи

привлекла однажды (в 1225 г.) в Пизу государя Римской империи Фридриха II, который приехал в сопровождении группы математиков, желавших публично испытать Леонардо. Одна из задач, предложенных на турнире, имела следующее содержание: Найти полный квадрат, остающийся полным квадратом как после увеличения его, так и после уменьшения на 5. Напомню, что полным квадратом называется число, из которого точно извлекается квадратный корень.
Фибоначчи после некоторых размышлений нашел такое число. Оно оказалось дробным: 1681/144 или (41/12)2.
Какими соображениями руководствовался Фибоначчи во время турнира, мы никогда не узнаем, но задачу он решил блестяще.

Слайд 34