Построение графиков сложных функций на основе свойства монотонности

(назовём её внутренней функцией )

(назовём её внешней функцией).

Каждая из них является элементарной.

Построим графики этих функций в системе координат.

y

y

x

x

v

Внутренняя функция является строго возрастающей: х возрастает от до ;
v возрастает от 0 до .

По графику внешней функции определяем: v возрастает от 0 до ;
y возрастает от 0 до .

Итак, при возрастании х от до , у возрастает от 0 до .

Контрольная точка: x = 0; y =

v

o

o

o

1/x. Внешняя функция .

Строим графики внутренней и внешней функций.

Промежутки монотонности внутренней функции:

x возрастает от до 0; v убывает от 0 до

Такому изменению v соответствует убывание y от 1 до 0 и от до 1

Для более точного построения следует использовать контрольные точки,

выбирая те значения x, при которых легко вычислять точные значения y.

x возрастает от 0 до ; v убывает от до 0

x

o

v

v

y

x

y

y(1) = 2; y(1/2) = 4 ; y(-1) = ½.

o

o

-которых случаях можно осуществить по следующему плану:

Начертить графики:
внутренней v = v(x) функции
внешней y = f(v) функции
И построить систему координат ХОУ.

Определить промежутки монотонности внутрен ней функции
и отметить их на оси ОХ плоскости ХОУ.

На каждом промежутке определить границы изме
нения внутренней функции, выбирая те значения
y = v(x), которые попадают в область определения функции y= f(v).

По графику внешней функции y= f (v) найти харак
тер изменения функции y.

В системе координат ХОУ начертить график
y= y(x).

; v возрастает от 1 до

v возрастает от 1 до ; у убывает от 1 до 0.

Воспользовавшись чётностью функции, получаем такой график

x

x

v

v

o

o

o

y

y

функции Y = f(v(x)) может быть уже области
определения внутренней функции !

от до 1; v убывает от до 0.

х возрастает от 2 до ; v возрастает от 0 до

На отрезке [ 1;2 ] функция v(x) = 0 либо v(x)< 0 .

Следовательно, при этих значениях функция y = f (v(x)) не определена

И х = 1, х = 2 - вертикальные асимптоты.

v убывает от до 0; у убывает от до .

v возрастает от 0 до ; у возрастает от до .

y

y

v

o

o

o

x

x

v

равна
периоду функции.

Строим графики и .

х возрастает на отрезке v возрастает от -1 до 1

у возрастает от ½ до 2 . .

х убывает на отрезке ; v убывает от 1 до -1;

у убывает от 2 до ½.

Контрольные точки: х = 0, у = 1; х = -п/2, у = ½ ; х = п/2, у = 2 ; х = 3п/2, у = 1/2

x

v

x

o

o

o

v

y

y

и y = 2 v , свойства монотонности которых хорошо известны.

Данная функция является композицией трёх функций:

Отсюда последовательно получаем три графика.

o

o

o

x

x

u

x

v

y

Строим график v=1+u(x), (смещение на 1 вдоль оси ОУ вверх).

4. Строим график y= 1/v(x), на основании монотонности функций

Построить график функции .

Конечно, при построении графиков сложных функций надо использовать весь

арсенал элементарных средств: переносы, отражения, сложение графиков и т.д.

Рассмотрим ещё примеры.

x

x

v

u

u

o

o

o

y

способов построения графиков функций.

Итак, на сегодняшнем занятии мы познакомились ещё

Для овладения данной методикой необходима практика.

Этим мы и займёмся на следующих наших занятиях.

?