Позиционные задачи

Позиционными задачами называют такие, в которых определяется взаимное расположение геометрических фигур

Взаимное пересечение геометрических фигур

Две геометрические фигуры, пересекаясь,
дают общий элемент:
Прямая

Из всего многообразия этих задач выделяются две общие задачи, которые называют

При решении 2 ГПЗ сначала необходимо выяснить, что будет являться общим

б) Пересекаются многогранник с кривой поверхностью (например, тор с пирамидой). Общий

Далее необходимо определить количество общих элементов пересекающихся поверхностей.

Определяется оно в

Характер пересечения поверхностей

Такой характер пересечения, когда одна из поверхностей насквозь пронзает другую, называется

Когда очерки поверхностей касаются в одной точке, является частным случаем

Когда одна из поверхностей "вдавливается" в другую, называется вмятие. В этом

Решение главных позиционных задач. 3 случая. 3 алгоритма.

Здесь имеет место З

Фигуры могут занимать проецирующее положение.

Таковыми являются: прямая, плоскость, а из

Главными проекциями у них являются: у прямой а - точка а1,

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры занимают проецирующее положение.

Алгоритм: Так как в пересечении участвует прямая линия (а), то это

Выполним краткую алгоритмическую запись вышеизложенного:

Σ(m || n) ∩ а = К;

Таким образом, решение 1 ГПЗ по первому алгоритму заключается в следующем:
Проекции

Вторую главную позиционную задачу решим в соответствии с рассмотренным алгоритмом.

Задача: найти

Алгоритм: Пересекаются две поверхности, это - 2 ГПЗ. Вначале анализируем, что

Алгоритмическая запись будет выглядеть следующим образом: Ф ∩ Г = m; 2

Проанализируем, из чего состоит линия пересечения m.

Как мы уже предполагали,

Плоскость Λ(Λ2) - это горизонтальная плоскость уровня. Она параллельна окружности основания

Проекции общего элемента на чертеже уже есть. Они совпадают с главными

Решение задач в случае, когда одна из пересекающихся фигур проецирующая, вторая

Задача: Найти проекции точки пересечения плоскости общего положения Σ(m || n)

Алгоритм: Решение начинаем, с фронтальной проекции. Фронтальная проекция точки пересечения К2

Горизонтальную проекцию точки пересечения К1 будем находить её по признаку принадлежности

Следующим этапом необходимо определить видимость прямой а на горизонтальной проекции. Для

Выполним краткую алгоритмическую запись решения:
Σ(m || n) ∩ a = K;

Рассмотрим ещё одну задачу: Пересекаются прямая общего положения а с поверхностью

Алгоритмическая запись решения: Г ∩ а = М, N, 1 ГПЗ, 2

Решение задач по 2 алгоритму сводится к следующему:

Выделяют из двух

Решение 2 ГПЗ по 2 алгоритму рассмотрим на примере конических сечений.

Две образующие получатся в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит через

Частным случаем такого вида пересечения конуса плоскостью является такое положение, при

Окружность получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, параллельна окружности основания

Эллипс получится в сечении, если плоскость не перпендикулярна оси конуса и

Парабола получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит параллельно только

Гипербола получится в сечении, если плоскость при пересечении с конусом параллельна

Рассмотрим ещё одну задачу на пересечение поверхностей, из которых одна проецирующая,

Алгоритм: 2 ГПЗ, 2 алг.

Алгоритм: 2 ГПЗ, 2 алг.
1. Вначале определяем,

Построения начинаем с характерных точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Построения начинаем с характерных точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6,

4. Аналогично строим линию пересечения сферы с плоскостью Λ(: b ⊂

Результат пересечения сферы Σ с плоскостью Δ - окружность с которая

Общий результат решения задачи с учётом видимости поверхностей:

Алгоритм: Σ ∩ Г = а, b, с. Г ⊥⊥ П1.

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие.
3

В данном случае задача усложняется тем, что на чертеже нет главной

Решение 1ГПЗ

Задача: Найти точку пересечения плоскости Г(АВС) с прямой а. Определить видимость

1 Алгоритм: Возьмём плоскость-посредник Σ так, чтобы она включала в себя

2. Пересекаем проецирующую плоскость Σ с плоскостью общего положения АВС, результатом

3. m2, пересекаясь с а2, даёт нам точку К2 ⇒ К1. 4.

Выполним краткую алгоритмическую запись решения задачи:

Г(АВС) ∩ а = К.
1

Такой алгоритм решения приемлем для нахождения точек пересечения любой поверхности с

Задача: Найти точки пересечения пирамиды Г(SABC) с прямой а. Определить видимость

1. Через прямую а проведём плоскость-посредник Σ, проецирующую относительно П2 .

4. Определяем видимость прямой на обеих проекциях. Невидимый участок прямой расположен

Алгоритм решения:

Г(SABC) ∩ a = K ,P. 1 ГПЗ, 3 алгоритм.
1.

Решение 2ГПЗ (в случае пересечения непроецирующих фигур) Рассмотрим алгоритм решения на пространственной

Алгоритм решения

1. Ф ∩ Δ = m; 2ГПЗ, 3 алгоритм .
2.

Задача: Построить линию пересечения конуса Ф со сферой Δ

Построения начинаем с характерных точек, не требующих дополнительных построений для их

3. Все остальные точки находим одинаково: задаём плоскость-посредник Σ .

4. Видимость горизонтальной проекции линии пересечения определяют точки А и А',

5. Крайние левые точки В и В' находим в плоскости Σ

Конечный результат построений с учётом видимости линии пересечения и самих поверхностей

Алгоритмическая запись решения:

Ф ∩ Δ = m. 2ГПЗ, 3 алгоритм .
1.

Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка

Пересечение соосных поверхностей вращения

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси

Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечёт

Теорема Монжа

Если две поверхности вращения второго порядка описаны около третьей поверхности