Правила сложения и умножения вероятностей и их следствия

одного из событий
- правило сложения для совместных событий
- неравенство вероятностей
- формула Бернулли
- формула гипотез ( полной вероятности)
- формула Бейеса

одного из них) равна сумме их вероятностей:
P(A + B) = P(A) + P(B), если A ⋅ B = ∅

Из аксиоматического определения:

(только для него − «как получено»)

Ω

B

Эта сумма равна сумме двух первых

событий благоприятны событию А, mB – событию B, (mA + mB) – событию (A + B).
Тогда:
P(A+B) = (mA + mB) / n = mA/n + mB/n = P(A) + P(B)
→ теорема доказана

Вероятность наступления одного из попарно несовместных событий
равна сумме
их вероятностей:

Обобщается на k несовместных событий (k > 2)

зеленый

Вероятность вынуть наугад шар цвета российского флага: 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9

+ 0.1 – вероятность вынуть зеленый шар = 1
– вероятность достоверного события ? –
«вынуть шар одного из возможных цветов»

Эта ситуация иллюстрирует следующее правило

единице

P( A ) + P(A ) = 1

p

q

надежность p
(вероятность безотказной работы)

p = 1 − q

Зависимые и независимые события. Условная и безусловная вероятность

Два события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятности другого

наугад 2 шара.
События: В – 1-ый шар черный, А – 2-ой шар белый.
2 разные схемы эксперимента:
а) «схема с возвращением»
(1-ый шар возвращается перед доставанием 2-го);
б) «схема без возвращения» (1-ый шар не возвращается)

Вероятности:
а) P(А) = 5 / 8 (не зависит от того, было ли В)
P(В) = 3 / 8 → А и В – независимые
б) P(А) = 4 / 7, если В не произошло, но
P(А) = 5 / 7, если В произошло
→ вероятность наступления А
зависит от наступления или не наступления В

при условии, что событие В имело место.
Вероятность независимого события – безусловная
(абсолютная)

Как следует из определений вероятности,

условная вероятность равна вероятности совместного наступления двух событий, деленной на вероятность события, о котором предполагается, что оно имело место:
P(A/B) = P(A⋅B) / P(B)

Отсюда cледует
правило умножения вероятностей !

одного из них,
умноженной на условную вероятность другого
при условии, что первое имело место:
P(A⋅B) = P(B) ⋅ P(A/B)
P(A⋅B) = P(А) ⋅ P(В/А)

Пример. В эксперименте с шарами по схеме (б), когда 1-ый шар не возвращается, P(A⋅B) = (3/8)⋅(5/7) = 15/56 − вероятность того, что 1-ый черный, а 2-ой белый

= P(B)

В этом случае правило умножения принимает следующую форму

P(A⋅B) = P(А) ⋅ P(В)
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей

Пример. В ситуации с возвращением шара (а)
P(A⋅B) = (5/8)⋅(3/8) = 15/64

независимых событий равна
произведению их вероятностей:
P(А1A2… Аk) = P(А1) ⋅ P(А2) ⋅ … ⋅ P(Аk)

Все последующие формулы для расчета вероятностей событий можно рассматривать как следствия правил сложения и умножения

только если все действуют). Вероятность работы системы в целом
определяется по правилу умножения.

Надежность системы независимых последовательных элементов
P = p1 ⋅ p2 ⋅…⋅ pj ⋅…⋅ pk ,
pj – надежность j-го элемента

Это «системы без резервирования»

→ P = pk

Надежность системы без резервирования
падает с ростом количества элементов

Вероятность отказа такой системы:
Q = 1 – P = 1 – p1 p2…pj…pk

только когда откажут все элементы.

Это « система с резервированием »

Вероятность отказа
Q = q1q2…qj…qk
Q = qk , если qj = q ( j = 1…k )
P = 1 – Q = 1 – q1 q2…qj…qk

Надежность системы с резервированием
растет с ростом количества элементов

последовательной системы – сначала P потом Q
2) для параллельной системы –
сначала Q затем P

NB!

Если элементы последовательны,
то надежность P = p1⋅ p2 = (1 – q1)⋅(1 – q2)
= 0.9 ⋅ 0.8 = 0.72;
вероятность отказа Q = 1 – P = 0.28
2) Если элементы действуют параллельно,
то Q = q1 ⋅ q2 = 0.1⋅0.2 = 0.02;
надежность P = 1 – Q = 1 – 0.02 = 0.98

Q ← «откажет хотя бы 1»

P ← «работает хотя бы 1»

единице без произведения вероятностей противоположных событий:
P(A = A1 + A2 + … + Ak)
= 1– p(Ā1)⋅p(Ā2)⋅ … ⋅p(Āk)

Общее правило для расчета вероятности
«хотя бы одного из событий»
(как совместных, так и не совместных)

определить
по правилу сложения для совместных событий
(при k > 2 существенно усложняется)

Вероятность наступления хотя бы одного
из двух совместных событий
равна сумме их вероятностей
без вероятности их совместного наступления:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A⋅B)