Предел функции

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Предел функции

Содержание

2. Случай 1. А
3. Случай 2. А
4. Случай 3. А В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а
5. Предел функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме,
6. Предел функции в точке х0 А δ окрестность точки x0 ε окрестность точки А Геометрический смысл
7. Односторонние пределы В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно
8. Односторонние пределы Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если Предел справа записывают так:
9. Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке .
10. Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Предел суммы (разности) двух функций
11. Основные теоремы о пределах Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя
12. Основные теоремы о пределах Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если
13. Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x). Если при этом
14. Вычисление пределов Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти
15. Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель
16. Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить
17. Раскрытие неопределенностей Раскрытие неопределенности Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.
18. Первый замечательный предел Функция не определена при x = 0. Найдем предел этой функции при О
19. Первый замечательный предел О А В С М x
20. Первый замечательный предел Следствия: Формула справедлива также при x
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Случай 1.
А

Слайд 3

Случай 2.
А

Слайд 4

Случай 3.
А
В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

Слайд 5

Предел функции в точке
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой

окрестности точки x0, кроме, быть может самой точки x0.

Слайд 6

Предел функции в точке
х0
А
δ окрестность точки x0
ε окрестность точки А
Геометрический смысл

предела: для всех х из δ – окрестности точки x0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

Слайд 7

Односторонние пределы
В определении предела функции
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x

к x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов.

предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или колеблясь около точки x0.

Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство:

Предел слева записывают так:

Слайд 8

Односторонние пределы
Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если
Предел

справа записывают так:

А1

х0

А2

Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами.

Очевидно, если существует

то существуют и оба односторонних предела, причем А = А1 = А2

Слайд 9

Предел функции при x стремящемся к бесконечности
Пусть функция y = f(x)

определена в промежутке .

Число А называют пределом функции при , если

Геометрический смысл этого определения таков:
существует такое число М, что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми:
у = А + ε , у = А - ε .

Слайд 10

Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.
Предел суммы

(разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:

Предел произведения двух функций равен произведению пределов:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Слайд 11

Основные теоремы о пределах
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел

знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Предел показательно – степенной функции:

Слайд 12

Основные теоремы о пределах
Если между соответствующими значениями трех функций
при этом:
тогда:
выполняются неравенства:
Если

функция f(x) монотонна и ограничена при x < x0 или при
x > x0, то существует соответственно ее левый предел:

или ее правый предел:

Слайд 13

Вычисление пределов
Вычисление предела:
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если

при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.

Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения вида:

то предел будет равен:

Слайд 14

Вычисление пределов
Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x) получаются

выражения следующих видов:

Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Слайд 15

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить

на множители числитель и знаменатель дроби

Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Слайд 16

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная

дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Слайд 17

Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности
Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Слайд 18

Первый замечательный предел
Функция
не определена при x = 0.
Найдем предел этой

функции при

Обозначим:
S1 - площадь треугольника OMA,
S2 - площадь сектора OMА,
S3 - площадь треугольника OСА,

Из рисунка видно, что S1< S2 < S3

Слайд 19

Первый замечательный предел
О
А
В
С
М
x

Слайд 20

Предел функции

Содержание

Случай 1.А

Случай 2.А

Случай 3.АВ этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

Предел функции в точкеПусть функция y = f(x) определена в некоторой

Предел функции в точкех0Аδ окрестность точки x0ε окрестность точки АГеометрический смысл

Односторонние пределыВ определении предела функцииБывают случаи, когда способ приближения аргумента x

Односторонние пределыЧисло А2 называют пределом функции справа в точке x0, еслиПредел

Предел функции при x стремящемся к бесконечностиПусть функция y = f(x)

Основные теоремы о пределахРассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.Предел суммы

Основные теоремы о пределахПредел дроби равен пределу числителя, деленному на предел

Основные теоремы о пределахЕсли между соответствующими значениями трех функцийпри этом:тогда:выполняются неравенства:Если

Вычисление пределовВычисление предела:начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).Если

Вычисление пределовЧасто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x) получаются

Раскрытие неопределенностейРаскрытие неопределенностиЕсли f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить

Раскрытие неопределенностейРаскрытие неопределенностиЕсли f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная

Раскрытие неопределенностейРаскрытие неопределенностиУмножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Первый замечательный пределФункция не определена при x = 0.Найдем предел этой

Первый замечательный пределОАВСМx

Первый замечательный пределСледствия:Формула справедлива также при x < 0

Похожие презентации