Пределы

Понятие предела функции

Определение: Пределом функции y= f(x) называется некоторое число b

Геометрический смысл предела

Определение: Для любого ε>0 можно указать δ-окрестность точки а

Геометрический смысл предела (продолжение)

Если число b1 есть предел функции y= f(x)

Бесконечно малые и большие функции и их свойства

Определение: Функция f(x)

Свойства бесконечно малых и больших функции

Функция обратная по величине бесконечно большой,

Основные теоремы о пределах

Теорема 1: Для того, чтобы число А было

Основные теоремы о пределах (продолжение)

Теорема 4: Если функция f1(x) и f2(x)

Неопределенности и методы их решений Неопределенность вида

Методы:
Разложение числителя и

Неопределенности и методы их решений Неопределенность вида

Методы: Деление на наибольшую

Примеры:

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Пусть f(x) и φ(x) – функции, для которых

ТЕОРЕМА 1.

Функция не может иметь более
одного предела.

Предположим обратное: что функция f(x) имеет два предела: А и D,

Вычитаем почленно эти равенства:

Но по условию теоремы

а разность

является бесконечно малой

ТЕОРЕМА 2.

Предел алгебраической суммы
(разности) конечного числа функций
равен сумме (разности) пределов

Доказательство:

По условию теоремы:

Тогда функции f(x) и φ(x) можно представить как суммы:

и

Где

-

Сумма бесконечно малых величин является величиной бесконечно малой.

Таким образом, функция f(x)

ТЕОРЕМА 3.

Предел произведения конечного
числа функций равен произведению
пределов этих функций:

Следствие.

ТЕОРЕМА 4.

Предел частного двух функций равен
частному пределов этих функций:

ТЕОРЕМА 5.

Если

и

то предел сложной функции существует и равен

ТЕОРЕМА 6.

Если в некоторой окрестности точки х0 (или при достаточно больших

Однако из существования пределов суммы, произведения или частного еще не следует,

Пример.

Но:

- не существует

Таблица эквивалентности пределов

Примеры