пределы

Август 22, 2022

Содержание

2. Определение Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может,
3. Определение Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε >
4. Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα), показательная функция (ax), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx
5. Примеры функций, имеющих предел в точке у= x2 Предел функции при x → 2 равен 4
6. Примеры функций, не имеющих предел в точке
7. Свойства предела функции в точке Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в
8. Вычисление предела функции в точке Найдем Предел числителя Предел знаменателя . Используя теорему о пределе частного,
9. Найдем Предел числителя Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя. Величина 1/(x-3)
10. Раскрытие неопределенности При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется
11. Разделим числитель и знаменатель на х4
12. Разделим числитель и знаменатель на х2 подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а
13. Вычислить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0
14. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Найти предел Сначала пробуем подставить 3 в выражение
16. Замечательные пределы первый замечательный предел второй замечательный предел
17. Примеры
18. Односторонние пределы Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого
19. Предел функции справа Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение
Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть

может, самой точки x0.
Функция f имеет предел в точке x0, если для любой последовательности точек xn, n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0, последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x0, (или при x → x0) при этом пишется

Слайд 3

Определение
Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0

существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию
|х — x0| < δ, x ≠ x0, выполняется неравенство |f (x) — A| < ε.

Слайд 4

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα), показательная функция (ax), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx)

и обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

Слайд 5

Примеры функций, имеющих предел в точке
у= x2
Предел функции при x → 2 равен 4 (при x → 2 значения функции →

4).

Предел функций при x → 0 равен 0.

Слайд 6

Примеры функций, не имеющих предел в точке

Слайд 7

Свойства предела функции в точке
Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем

То
если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Слайд 8

Вычисление предела функции в точке
Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя
.
Используя теорему

о пределе частного, получим

Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

Слайд 9

Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе

частного применять нельзя.
Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3. Тогда

Слайд 10

Раскрытие неопределенности
При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида
Отыскание предела

в таких случаях называется раскрытием неопределенности.

Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на х2

Слайд 11

Разделим числитель и знаменатель на х4

Слайд 12

Разделим числитель и знаменатель на х2
подразумевается не деление на ноль (делить

на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Слайд 13

Вычислить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так

называемая неопределенность 0/0

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Очевидно, что можно сократить на (х+1)

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Слайд 14

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Найти предел
Сначала пробуем подставить

3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

Слайд 15

Слайд 16

Замечательные пределы
первый замечательный предел
второй замечательный предел

Слайд 17

Примеры

Слайд 18

Односторонние пределы
Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое,

что для всех выполняется неравенство
При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А1

Предел функции слева

Слайд 19

Предел функции справа
Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое,

что для всех выполняется неравенство
При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А2

Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева.

пределы

Содержание

Определение Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть

ОпределениеЧисло А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα), показательная функция (ax), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx)

Примеры функций, имеющих предел в точкеу= x2Предел функции при x → 2 равен 4 (при x → 2 значения функции →

Примеры функций, не имеющих предел в точке

Свойства предела функции в точкеЕсли функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем

Вычисление предела функции в точкеНайдем Предел числителя Предел знаменателя .Используя теорему

Найдем Предел числителя Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе

Раскрытие неопределенностиПри нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела

Разделим числитель и знаменатель на х4

Разделим числитель и знаменатель на х2 подразумевается не деление на ноль (делить

Вычислить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражениеНайти предел Сначала пробуем подставить

Замечательные пределыпервый замечательный пределвторой замечательный предел