Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии и следствия из них

 – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость)

«стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем).

Школьный курс ГЕОМЕТРИИ

фигур
на плоскости

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур
в пространстве

и большинства изобретений человечества;
ГЕОМЕТРИЯ нужна

технику,
инженеру,
рабочему,
архитектору,
модельеру …

Мы знаем, что

вычисления практически важных геометрических величин.
При этом мы будем развивать пространственное воображение и логическое мышление

это ключ к изучению стереометрии

ВЫВОД:

При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками, чертежами: они помогут нам понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта.

Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, определения, доказательству теоремы, решению геометрической задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь .

«Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», — признавался великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).

P ∈ α , |PK| = 2 см

же MN

трём точкам, через которые плоскости проходят

Плоскость β, она же плоскость (KLN) или (KLM)

L

M

плоскости
⊄ — не лежит в плоскости

α

A

B

M

K

N

A ∈ α, B ∈ α

M ∉ α, N ∉ α, K ∉ α

одной плоскости

Указать плоскости, которым принадлежит:

а) прямая AB

A

B

D

C

F

Решение:

б) точка F

в) точка C

а) AB ⊂ (ABC), AB ⊂ (ABD)

б) F ∈ (ABC), F ∈ (BCD)

в) C ∈ (ABC), C ∈ (BCD), C ∈ (ACD)

в одной плоскости

Доказательство:

A

B

C

Прямая AB ⊂ (ABC) ⇒

Проведём через точки А, В, С плоскость (ABC)

⇒ отрезок AB ⊂ (ABС)

АС, ВС ⊂ (АВС)

АB, ВC, AС

Что и требовалось доказать

одной плоскости.
Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна.
Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Если плоскости не пересекаются, то они параллельны.

В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга

Определите: верно, ли суждение?

ДА

ДА

ДА

НЕТ

НЕТ

НЕТ

НЕТ

НЕТ

положение теории.

Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

Аксиома – это утверждение не требующее доказательства.

Определение

Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия.

плоскость, и притом только одна

α = (РКС)

прямой лежат в этой плоскости.

m

М, C ∈ α

m ⊂ α

М, C ∈ m,

Если

то

прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

М ∈ α, М ∈ β, М ∈ m

m ∈ α, m ∈ β

α ∩ β = m

провести плоскость, и притом только одну.

м

А

В

Дано: М∉m

Так как М∉m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её α. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости α.. Таким образом, плоскость α проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — β, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости α и β проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость α единственна.
Теорема доказана

Доказательство

Пусть точки A, B ∈ m.

только одну.

к

притом только одну.

N

Дано: m ∩ n = M

Доказательство

Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.

Рассмотрим плоскость α =(n, N). Так как M∈ α и N∈α, то по А-2 m ⊂ α. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости α и следовательно α, является искомой
Докажем единственность плоскости α. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые m и n, плоскость β.
Так как плоскость β проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.
Теорема доказана

не лежащей на этой прямой
По двум пересекающимся прямым
По двум параллельным прямым

ВЫВОД

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;

а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;

Решение:

P ∊ ABD;

E ∊ ABD;

⟹

PE ∊ ABD;

M ∊ ABD;

K ∊ ABD;

⟹

MK ∊ ABD;

а)

прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;

а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;

Решение:

P ∊ ABD;

E ∊ ABD;

⟹

PE ∊ ABD;

M ∊ ABD;

K ∊ ABD;

⟹

MK ∊ ABD;

D ∊ BCD;

B ∊ BCD;

⟹

BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;

D ∊ ABD;

B ∊ ABD;

а)

прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;

а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;

Решение:

P ∊ ABD;

E ∊ ABD;

⟹

PE ∊ ABD;

M ∊ ABD;

K ∊ ABD;

⟹

MK ∊ ABD;

D ∊ BCD;

B ∊ BCD;

⟹

BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;

D ∊ ABD;

B ∊ ABD;

A ∊ ABC;

B ∊ ABC;

⟹

AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;

A ∊ ABD;

B ∊ ABD;

а)

прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;

а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;

Решение:

P ∊ ABD;

E ∊ ABD;

⟹

PE ∊ ABD;

M ∊ ABD;

K ∊ ABD;

⟹

MK ∊ ABD;

D ∊ BCD;

B ∊ BCD;

⟹

BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;

D ∊ ABD;

B ∊ ABD;

A ∊ ABC;

B ∊ ABC;

⟹

AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;

A ∊ ABD;

B ∊ ABD;

E ∊ CDE;

C ∊ CDE;

⟹

EC ∊ ABC, AB ∊ CDE;

E ∊ ABC;

C ∊ ABC;

а)

прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;

а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;

Решение:

P ∊ ABD;

E ∊ ABD;

⟹

PE ∊ ABD;

M ∊ ABD;

K ∊ ABD;

⟹

MK ∊ ABD;

D ∊ BCD;

B ∊ BCD;

⟹

BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;

D ∊ ABD;

B ∊ ABD;

A ∊ ABC;

B ∊ ABC;

⟹

AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;

A ∊ ABD;

B ∊ ABD;

E ∊ CDE;

C ∊ CDE;

⟹

EC ∊ ABC, AB ∊ CDE;

E ∊ ABC;

C ∊ ABC;

а)

б)

С ∊ DK;

C ∊ ABC;

⟹

 

прямой DK с плоскостью ABC,
прямой CE с плоскостью ADB;

а) плоскости, в которых лежат прямые
PE, MK, DB, AB, EC;

Решение:

P ∊ ABD;

E ∊ ABD;

⟹

PE ∊ ABD;

M ∊ ABD;

K ∊ ABD;

⟹

MK ∊ ABD;

D ∊ BCD;

B ∊ BCD;

⟹

BD ∊ ABD, BD ∊ BCD;

D ∊ ABD;

B ∊ ABD;

A ∊ ABC;

B ∊ ABC;

⟹

AB ∊ ABD, AB ∊ ABC;

A ∊ ABD;

B ∊ ABD;

E ∊ CDE;

C ∊ CDE;

⟹

EC ∊ ABC, AB ∊ CDE;

E ∊ ABC;

C ∊ ABC;

а)

б)

С ∊ DK;

C ∊ ABC;

⟹

 

E ∊ CE;

E ∊ ABD;

⟹

 

4

Найти:
Могут ли 3 из них лежать на одной прямой?

Решение.

A

B

C

D

m

Пусть:

(A, B, C) ∊ m;

D ∉ m;

∃α: (A,C,D) ∊ α

A ∊ α

C ∊ α

⟹

B ∊ α

(аксиома A2)

(аксиома A1)

(A,B,C,D) ∊ α;

Ответ: Нет.