Определенный интеграл

1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция

Фигура под ломаной состоит из трапеций и ее площадь равна сумме

S

За искомую площадь под кривой берут предел площади под ломаной при

Сумму вида

называют интегральной суммой
для функции y=f(x) на отрезке [a,b]

Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек ξi

Каждое

Наибольший из отрезков разбиения

обозначим как

Вся интегральная сумма будет равна

Если существует конечный предел интегральной суммы при

не зависящий от способа

Функция y=f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a,b].

Числа a и b называются

Неопределенный интеграл

есть семейство функций, а определенный интеграл

есть определенное число.

По определению

С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше.

Если а =

Необходимое условие существования определенного интеграла

2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Интегрируемая на

Достаточное условие существования определенного интеграла

Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)

Свойства определенного интеграла

1

Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.

Доказательство:

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек

Рассмотрим интегральную

Следовательно по определению:

2

Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности)

3

Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем отрезке

Геометрически это означает, что если a

S

S

S

4

Если на [a,b], где a

то

Доказательство:

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек

то для

Следствие.

Пусть на [a,b], где a

где m и M некоторые

Доказательство:

По свойству 4 имеем:

По свойству 1 и геометрическому смыслу определенного

5

Если на [a,b], где a

Доказательство:

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения

справедливо

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее

Пусть

Тогда теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка

что площадь под

Равенство

называется формулой среднего значения.

называется средним значением функции.