Преобразование Фурье

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Преобразование Фурье

Содержание

2. ПЛАН Обобщенный ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Понятие о спектре периодической функции Преобразование Фурье для непериодических
3. ЛИТЕРАТУРА Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005, – 464
4. Периодическая функция с периодом Обобщенный ряд Фурье для периодической функции Скалярное произведение Ортонормированный базис Условие взаимной
5. Разложение периодических функций в обобщенный ряд Фурье - обобщенный ряд Фурье для периодической функции В результате
6. Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический базис Тригонометрический ряд Фурье Условия разложимости периодической функции в ряд Фурье Функция
7. коэффициенты Фурье Тригонометрический ряд Фурье
8. коэффициенты Фурье Вывод выражений для коэффициентов Фурье Тригонометрический ряд Фурье Остальные выражения получаются аналогично Скалярное произведение
9. Частоты гармоник ряда Фурье основная частота – циклическая частота, соответствующая периоду функции постоянная составляющая = среднее
10. Четные и нечетные функции Периодическая функция с периодом Ряд Фурье Четная функция Нечетная функция
11. Равенство Парсеваля для ряда Фурье ряд Фурье Равенство Парсеваля Равенство Парсеваля связывает энергию сигнала во временной
12. Амплитуды и фазы гармоник гармоника ряда Фурье амплитуда и фаза гармоники Связь с коэффициентами Фурье Эквивалентная
13. Ряд Фурье по комплексным экспонентам
14. Ряд Фурье по комплексным экспонентам Соотношения для вещественной периодической функции
15. Ряд Фурье по комплексным экспонентам Замечание. Отрицательная частота является не физическим, а математическим понятием, вытекающим из
16. Преобразование Фурье для непериодических функций комплексная амплитуда гармоники Непериодическая функция может рассматриваться как функция с бесконечно
17. Преобразование Фурье. Интеграл Фурье Здесь частоту нельзя определить, как величину, обратную периоду. Частотой теперь будем называть
18. Прямое преобразование Фурье Интеграл Фурье Обратное преобразование Фурье - функции, сопряженные по Фурье
19. Условия существования интеграла Фурье Функция должна быть абсолютно интегрируема, т.е. должен существовать интеграл Функция должна иметь
20. Основные свойства преобразования Фурье 1. Взаимная однозначность 2. Линейность 3. Теорема смещения
21. Основные свойства преобразования Фурье 4. Теорема о свертке Прямая теорема: преобразование Фурье от свертки двух функций
22. Основные свойства преобразования Фурье 5. Теорема Парсеваля для интеграла Фурье Равенство Парсеваля
23. Основные свойства преобразования Фурье 6. Дельта-функция и функция Хевисайда Дельта-функция Функция Хевисайда (ступенька)
24. Теорема отсчетов 1935 г. В.А. Котельников; 1945 г. Клод Шенон; 1915 г. Уиттекер Функция с ограниченным
25. Доказательство теоремы отсчетов доопределили функцию как периодическую применили обратное преобразование Фурье применили обратную теорему о свертке
26. Доказательство теоремы отсчетов. Ряд Котельникова. Число степеней свободы функции Ряд Котельникова позволяет вычислить с любой точностью
27. Дискретизация непрерывной функции
28. Численный спектральный анализ Получить самостоятельно выражения для численного расчета интегралов, применив левостороннюю формулу прямоугольников В окончательную
29. Численный спектральный анализ интегральная сумма по левосторонней формуле прямоугольников формулы для численного расчета коэффициентов Фурье
30. Дискретное преобразование Фурье комплексный коэффициент Фурье прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Обратное ДПФ комплексный ряд Фурье
31. Свойства ДПФ Линейность Число коэффициентов ДПФ равно числу N элементов исходной последовательности Постоянная составляющая (коэффициент с
32. Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенство Свойства ДПФ комплексное сопряжение
33. Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенство поэтому можно считать, что вторая половина
34. Периодическое продолжение дискретной последовательности Свойства ДПФ обратное ДПФ
35. Частоты ДПФ положительные частоты отрицательные частоты максимальная частота Пусть последовательность из отсчетов является дискретным представлением непрерывной
36. Пример с перестановкой частот комплексного спектра ДПФ
37. Двумерное ДПФ прямое двумерное ДПФ обратное двумерное ДПФ Преобразование прямоугольных матриц (двумерных массивов)
38. Быстрое преобразование Фурье Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - “быстрый” алгоритм расчета ДПФ
39. Быстрое преобразование Фурье
40. Быстрое преобразование Фурье Порядок сложности алгоритма БПФ Порядок сложности алгоритма ДПФ
41. Cредства Mathcad для реализации ДПФ и БПФ Встроенные функции (пары функций) – см. описания в справочной
42. Сходимость ряда Фурье Пусть s(t) – кусочно непрерывно дифференцируемая функция с периодом T. Тогда ряд Фурье
43. Скорость сходимости ряда Фурье Скорость сходимости ряда Фурье функции s(t) зависит от ее гладкости - количества
44. Эффект Гиббса Явление Гиббса: неравномерная сходимость ряда Фурье функции s(t) с периодом T в точках разрыва.
45. Эффект Гиббса. Пример
46. Сглаживание пульсаций. Сигма-факторы Методика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда Фурье по периоду последнего
47. Сглаживание пульсаций. Сигма-факторы Методика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда Фурье по периоду последнего
49. Скачать презентацию

Слайд 2

ПЛАН
Обобщенный ряд Фурье
Тригонометрический ряд Фурье
Понятие о спектре периодической функции
Преобразование Фурье для

непериодических функций. Интеграл Фурье
Основные математические свойства преобразования Фурье
Теорема отсчетов
Дискретное преобразование Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье
Быстрое преобразование Фурье
Сходимость ряда Фурье. Эффект Гиббса. Сглаживание высокочастотных пульсаций. Сигма-факторы.

Слайд 3

ЛИТЕРАТУРА
Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе Mathcad. – СПб.:

БХВ-Петербург, 2005, – 464 с.
Зверев В.А., Стромков А.А., Выделение сигналов из помех численными методами. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2001, - 188 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004, - 640 с.
Ханова А.А., Макарова И.Г., Лабораторный практикум по математическому моделированию и методам в расчетах на ЭВМ. – Интернет-ресурс: http://exponenta.ru/educat/systemat/hanova/lab/lr.asp

Слайд 4

Периодическая функция с периодом
Обобщенный ряд Фурье для периодической функции
Скалярное произведение
Ортонормированный

базис

Условие взаимной ортогональности
Условие нормировки

Комплексное сопряжение

Система функций

Слайд 5

Разложение периодических функций в обобщенный ряд Фурье
- обобщенный ряд Фурье для

периодической функции

В результате имеем выражение для коэффициентов ряда :

Рассмотрим скалярное произведение функции и базисной функции:

Слайд 6

Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрический
базис
Тригонометрический
ряд Фурье
Условия разложимости периодической функции в ряд Фурье
Функция должна

быть абсолютно интегрируема, т.е. должен существовать интеграл
Функция должна иметь только конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов в пределах одного периода
Функция не должна иметь разрывов второго рода

Слайд 7

коэффициенты Фурье
Тригонометрический ряд Фурье

Слайд 8

коэффициенты Фурье
Вывод выражений для коэффициентов Фурье
Тригонометрический ряд Фурье
Остальные выражения получаются аналогично
Скалярное

произведение с базисной функцией

Слагаемое ряда Фурье

Слайд 9

Частоты гармоник ряда Фурье
основная частота – циклическая частота, соответствующая периоду функции
постоянная

составляющая =
среднее значение функции за период

ряд Фурье

Постоянная составляющая ряда Фурье

Слайд 10

Четные и нечетные функции
Периодическая функция с периодом
Ряд Фурье
Четная функция
Нечетная функция

Слайд 11

Равенство Парсеваля для ряда Фурье
ряд Фурье
Равенство Парсеваля
Равенство Парсеваля связывает
энергию сигнала

во временной области
с коэффициентами Фурье

Слайд 12

Амплитуды и фазы гармоник
гармоника ряда Фурье
амплитуда и фаза
гармоники
Связь с коэффициентами Фурье
Эквивалентная

форма ряда Фурье

Слайд 13

Ряд Фурье по комплексным экспонентам

Слайд 14

Ряд Фурье по комплексным экспонентам
Соотношения для вещественной периодической функции

Слайд 15

Ряд Фурье по комплексным экспонентам
Замечание. Отрицательная частота является не физическим, а

математическим понятием, вытекающим из способа представления комплексных чисел

ряд Фурье
формула для расчета
комплексной амплитуды
гармоники

Слайд 16

Преобразование Фурье для непериодических функций
комплексная амплитуда
гармоники
Непериодическая функция может рассматриваться как

функция с бесконечно большим периодом => нужен предельный переход

Расстояние между соседними отсчетами в частотной области

ряд Фурье

новая функция

Слайд 17

Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
Здесь частоту нельзя определить, как величину, обратную периоду.

Частотой теперь будем называть новую непрерывную независимую переменную, которая появилась в формулах для интеграла Фурье

Слайд 18

Прямое преобразование Фурье
Интеграл Фурье
Обратное преобразование Фурье
- функции, сопряженные по Фурье

Слайд 19

Условия существования интеграла Фурье
Функция должна быть абсолютно интегрируема, т.е. должен существовать

интеграл
Функция должна иметь только конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов в пределах любого отрезка конечных размеров
Функция не должна иметь разрывов второго рода

Для функций, которые не удовлетворяют условиям существования, часто можно найти имеющее смысл преобразование, если эти функции удается определить как предел последовательности функций, поддающихся преобразованию Фурье. Преобразуя каждый член определяющей последовательности, мы получаем соответствующую последовательность Фурье-образов, предел которой называется обобщенным Фурье-образом исходной функции.

Слайд 20

Основные свойства преобразования Фурье
1. Взаимная однозначность
2. Линейность
3. Теорема смещения

Слайд 21

Основные свойства преобразования Фурье
4. Теорема о свертке
Прямая теорема: преобразование Фурье от

свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье от этих функций

Обратная теорема: преобразование Фурье от произведения функций равно свертке их преобразований Фурье

Слайд 22

Основные свойства преобразования Фурье
5. Теорема Парсеваля для интеграла Фурье
Равенство Парсеваля

Слайд 23

Основные свойства преобразования Фурье
6. Дельта-функция и функция Хевисайда
Дельта-функция
Функция Хевисайда (ступенька)

Слайд 24

Теорема отсчетов
1935 г. В.А. Котельников; 1945 г. Клод Шенон; 1915 г.

Уиттекер

Функция с ограниченным спектром - функция, спектр которой по модулю обращается в нуль на всех частотах, начиная с частоты :

Непрерывная функция, имеющая ограниченный спектр, может быть представлена в любой точке на основании своих значений, взятых
в дискретных точках отсчета. При этом на период колебаний на граничной частоте должно приходиться не менее двух точек отсчета:

- расстояние между точками отсчета

Слайд 25

Доказательство теоремы отсчетов
доопределили функцию
как периодическую
применили обратное преобразование Фурье
применили обратную теорему

о свертке

ограничение ширины спектра выделили явно

новая функция

Слайд 26

Доказательство теоремы отсчетов. Ряд Котельникова. Число степеней свободы функции
Ряд Котельникова позволяет вычислить

с любой точностью значения непрерывной функции по ее значениям в дискретных точках отсчета

Число степеней свободы функции

- ширина спектра и длина области задания финитной функции

Слайд 27

Дискретизация непрерывной функции

Слайд 28

Численный спектральный анализ
Получить самостоятельно выражения для численного расчета интегралов, применив левостороннюю

формулу прямоугольников
В окончательную формулу длина промежутка дискретизации
должна не входить

Слайд 29

Численный спектральный анализ
интегральная сумма
по левосторонней формуле прямоугольников
формулы для численного расчета

коэффициентов Фурье

Слайд 30

Дискретное преобразование Фурье
комплексный коэффициент Фурье
прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Обратное ДПФ
комплексный ряд

Фурье

Слайд 31

Свойства ДПФ
Линейность
Число коэффициентов ДПФ равно числу N элементов исходной последовательности
Постоянная составляющая

(коэффициент с номером нуль) есть среднее значение дискретной последовательности:
Если N - четное, то

Слайд 32

Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенство
Свойства ДПФ
комплексное

сопряжение

Слайд 33

Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенство
поэтому можно

считать, что вторая половина коэффициентов
отвечает отрицательным частотам, для которых по свойствам комплексных амплитуд

Свойства ДПФ

комплексное сопряжение

Слайд 34

Периодическое продолжение дискретной последовательности
Свойства ДПФ
обратное ДПФ

Слайд 35

Частоты ДПФ
положительные частоты
отрицательные частоты
максимальная частота
Пусть последовательность из отсчетов является дискретным представлением

непрерывной функции на промежутке . Тогда

Если ДПФ рассматривается как преобразование дискретного набора данных и речи о дискретизации непрерывной функции не идет, то при определении частот полагают период последовательности
(последовательность периодична по номерам элементов с периодом )

условие точного соответствия ДПФ непрерывному преобразованию Фурье

Слайд 36

Пример с перестановкой частот комплексного спектра ДПФ

Слайд 37

Двумерное ДПФ
прямое двумерное ДПФ
обратное двумерное ДПФ
Преобразование прямоугольных матриц (двумерных массивов)

Слайд 38

Быстрое преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - “быстрый” алгоритм расчета ДПФ

Слайд 39

Быстрое преобразование Фурье

Слайд 40

Быстрое преобразование Фурье
Порядок сложности алгоритма БПФ
Порядок сложности алгоритма ДПФ

Слайд 41

Cредства Mathcad для реализации ДПФ и БПФ
Встроенные функции (пары функций) –

см. описания в справочной системе
fft, ifft – Fast Fourier Transform (FFT), Inverse FFT
FFT, IFFT
cfft, icfft – Complex FFT, Inverse Complex FFT
CFFT, ICFFT
Готовые примеры (quicksheets):
Engineering Applications\Fast Fourier Transforms
qsheet\Applications\f060.xmcd
Calculus and DiffEQs\Fourier Coefficients: Signal Generation
qsheet\Calculus_Des\fourcoef.xmcd

Слайд 42

Сходимость ряда Фурье
Пусть s(t) – кусочно непрерывно дифференцируемая функция с периодом

T. Тогда ряд Фурье функции s(t) сходится в каждой точке отрезка [0,T]:

Ряд Фурье

равенство верно для любой точки

равенство в точке непрерывности

Слайд 43

Скорость сходимости ряда Фурье
Скорость сходимости ряда Фурье функции s(t) зависит от

ее гладкости - количества непрерывных производных.
Теорема. Если s(t) непрерывно дифференцируема r раз на отрезке [0,T], то для частичных сумм ряда Фурье sN(t) справедливы неравенства:

частичная сумма
ряда Фурье

неравенство для
среднеквадратического
отклонения

Слайд 44

Эффект Гиббса
Явление Гиббса: неравномерная сходимость ряда Фурье функции s(t) с периодом

T в точках разрыва.

значение ряда Фурье в точке разрыва t '

Использование конечного числа членов ряда Фурье для функций с разрывами, например при численном моделировании, приводит к тому, что частичные суммы ряда содержат периодические функции, период которых равен периоду последнего удержанного члена .

Слайд 45

Эффект Гиббса. Пример

Слайд 46

Сглаживание пульсаций. Сигма-факторы
Методика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда

Фурье по периоду последнего оставленного или первого отброшенного члена

Слайд 47

Сглаживание пульсаций. Сигма-факторы
Методика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда

Фурье по периоду последнего оставленного или первого отброшенного члена

коэффициенты Фурье домножаются
на сигма-факторы

Преобразование Фурье

Содержание

ПЛАНОбобщенный ряд ФурьеТригонометрический ряд ФурьеПонятие о спектре периодической функцииПреобразование Фурье для

ЛИТЕРАТУРАПоршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе Mathcad. – СПб.:

Периодическая функция с периодом Обобщенный ряд Фурье для периодической функцииСкалярное произведениеОртонормированный

Разложение периодических функций в обобщенный ряд Фурье- обобщенный ряд Фурье для

Тригонометрический ряд ФурьеТригонометрическийбазисТригонометрическийряд ФурьеУсловия разложимости периодической функции в ряд ФурьеФункция должна

коэффициенты ФурьеТригонометрический ряд Фурье

коэффициенты ФурьеВывод выражений для коэффициентов ФурьеТригонометрический ряд ФурьеОстальные выражения получаются аналогичноСкалярное

Частоты гармоник ряда Фурьеосновная частота – циклическая частота, соответствующая периоду функциипостоянная

Четные и нечетные функцииПериодическая функция с периодом Ряд ФурьеЧетная функцияНечетная функция

Равенство Парсеваля для ряда Фурьеряд ФурьеРавенство ПарсеваляРавенство Парсеваля связывает энергию сигнала

Амплитуды и фазы гармоникгармоника ряда Фурьеамплитуда и фазагармоникиСвязь с коэффициентами ФурьеЭквивалентная

Ряд Фурье по комплексным экспонентам

Ряд Фурье по комплексным экспонентамСоотношения для вещественной периодической функции

Ряд Фурье по комплексным экспонентамЗамечание. Отрицательная частота является не физическим, а

Преобразование Фурье для непериодических функцийкомплексная амплитуда гармоникиНепериодическая функция может рассматриваться как

Преобразование Фурье. Интеграл ФурьеЗдесь частоту нельзя определить, как величину, обратную периоду.

Прямое преобразование ФурьеИнтеграл ФурьеОбратное преобразование Фурье- функции, сопряженные по Фурье

Условия существования интеграла ФурьеФункция должна быть абсолютно интегрируема, т.е. должен существовать

Основные свойства преобразования Фурье1. Взаимная однозначность2. Линейность3. Теорема смещения

Основные свойства преобразования Фурье4. Теорема о сверткеПрямая теорема: преобразование Фурье от

Основные свойства преобразования Фурье5. Теорема Парсеваля для интеграла ФурьеРавенство Парсеваля

Основные свойства преобразования Фурье6. Дельта-функция и функция ХевисайдаДельта-функцияФункция Хевисайда (ступенька)

Теорема отсчетов1935 г. В.А. Котельников; 1945 г. Клод Шенон; 1915 г.

Доказательство теоремы отсчетовдоопределили функцию как периодическуюприменили обратное преобразование Фурьеприменили обратную теорему

Доказательство теоремы отсчетов. Ряд Котельникова. Число степеней свободы функцииРяд Котельникова позволяет вычислить

Дискретизация непрерывной функции

Численный спектральный анализПолучить самостоятельно выражения для численного расчета интегралов, применив левостороннюю

Численный спектральный анализинтегральная сумма по левосторонней формуле прямоугольниковформулы для численного расчета

Дискретное преобразование Фурьекомплексный коэффициент Фурьепрямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ)Обратное ДПФкомплексный ряд

Свойства ДПФЛинейностьЧисло коэффициентов ДПФ равно числу N элементов исходной последовательностиПостоянная составляющая

Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенствоСвойства ДПФкомплексное

Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенствопоэтому можно

Периодическое продолжение дискретной последовательностиСвойства ДПФобратное ДПФ

Частоты ДПФположительные частотыотрицательные частотымаксимальная частотаПусть последовательность из отсчетов является дискретным представлением

Пример с перестановкой частот комплексного спектра ДПФ

Двумерное ДПФпрямое двумерное ДПФобратное двумерное ДПФПреобразование прямоугольных матриц (двумерных массивов)

Быстрое преобразование ФурьеБыстрое преобразование Фурье (БПФ) - “быстрый” алгоритм расчета ДПФ

Быстрое преобразование Фурье

Быстрое преобразование ФурьеПорядок сложности алгоритма БПФПорядок сложности алгоритма ДПФ

Cредства Mathcad для реализации ДПФ и БПФВстроенные функции (пары функций) –

Сходимость ряда ФурьеПусть s(t) – кусочно непрерывно дифференцируемая функция с периодом

Скорость сходимости ряда ФурьеСкорость сходимости ряда Фурье функции s(t) зависит от

Эффект ГиббсаЯвление Гиббса: неравномерная сходимость ряда Фурье функции s(t) с периодом

Эффект Гиббса. Пример

Сглаживание пульсаций. Сигма-факторыМетодика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда

Сглаживание пульсаций. Сигма-факторыМетодика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда

Похожие презентации

ПЛАН
Обобщенный ряд Фурье
Тригонометрический ряд Фурье
Понятие о спектре периодической функции
Преобразование Фурье для

ЛИТЕРАТУРА
Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе Mathcad. – СПб.:

Периодическая функция с периодом
Обобщенный ряд Фурье для периодической функции
Скалярное произведение
Ортонормированный

Разложение периодических функций в обобщенный ряд Фурье
- обобщенный ряд Фурье для

Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрический
базис
Тригонометрический
ряд Фурье
Условия разложимости периодической функции в ряд Фурье
Функция должна

коэффициенты Фурье
Тригонометрический ряд Фурье

коэффициенты Фурье
Вывод выражений для коэффициентов Фурье
Тригонометрический ряд Фурье
Остальные выражения получаются аналогично
Скалярное

Частоты гармоник ряда Фурье
основная частота – циклическая частота, соответствующая периоду функции
постоянная

Четные и нечетные функции
Периодическая функция с периодом
Ряд Фурье
Четная функция
Нечетная функция

Равенство Парсеваля для ряда Фурье
ряд Фурье
Равенство Парсеваля
Равенство Парсеваля связывает
энергию сигнала

Амплитуды и фазы гармоник
гармоника ряда Фурье
амплитуда и фаза
гармоники
Связь с коэффициентами Фурье
Эквивалентная

Ряд Фурье по комплексным экспонентам
Соотношения для вещественной периодической функции

Ряд Фурье по комплексным экспонентам
Замечание. Отрицательная частота является не физическим, а

Преобразование Фурье для непериодических функций
комплексная амплитуда
гармоники
Непериодическая функция может рассматриваться как

Преобразование Фурье. Интеграл Фурье
Здесь частоту нельзя определить, как величину, обратную периоду.

Прямое преобразование Фурье
Интеграл Фурье
Обратное преобразование Фурье
- функции, сопряженные по Фурье

Условия существования интеграла Фурье
Функция должна быть абсолютно интегрируема, т.е. должен существовать

Основные свойства преобразования Фурье
1. Взаимная однозначность
2. Линейность
3. Теорема смещения

Основные свойства преобразования Фурье
4. Теорема о свертке
Прямая теорема: преобразование Фурье от

Основные свойства преобразования Фурье
5. Теорема Парсеваля для интеграла Фурье
Равенство Парсеваля

Основные свойства преобразования Фурье
6. Дельта-функция и функция Хевисайда
Дельта-функция
Функция Хевисайда (ступенька)

Теорема отсчетов
1935 г. В.А. Котельников; 1945 г. Клод Шенон; 1915 г.

Доказательство теоремы отсчетов
доопределили функцию
как периодическую
применили обратное преобразование Фурье
применили обратную теорему

Доказательство теоремы отсчетов. Ряд Котельникова. Число степеней свободы функции
Ряд Котельникова позволяет вычислить

Численный спектральный анализ
Получить самостоятельно выражения для численного расчета интегралов, применив левостороннюю

Численный спектральный анализ
интегральная сумма
по левосторонней формуле прямоугольников
формулы для численного расчета

Дискретное преобразование Фурье
комплексный коэффициент Фурье
прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Обратное ДПФ
комплексный ряд

Свойства ДПФ
Линейность
Число коэффициентов ДПФ равно числу N элементов исходной последовательности
Постоянная составляющая

Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенство
Свойства ДПФ
комплексное

Если - дискретная последовательность вещественных чисел, то имеет место равенство
поэтому можно

Периодическое продолжение дискретной последовательности
Свойства ДПФ
обратное ДПФ

Частоты ДПФ
положительные частоты
отрицательные частоты
максимальная частота
Пусть последовательность из отсчетов является дискретным представлением

Двумерное ДПФ
прямое двумерное ДПФ
обратное двумерное ДПФ
Преобразование прямоугольных матриц (двумерных массивов)

Быстрое преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - “быстрый” алгоритм расчета ДПФ

Быстрое преобразование Фурье
Порядок сложности алгоритма БПФ
Порядок сложности алгоритма ДПФ

Cредства Mathcad для реализации ДПФ и БПФ
Встроенные функции (пары функций) –

Сходимость ряда Фурье
Пусть s(t) – кусочно непрерывно дифференцируемая функция с периодом

Скорость сходимости ряда Фурье
Скорость сходимости ряда Фурье функции s(t) зависит от

Эффект Гиббса
Явление Гиббса: неравномерная сходимость ряда Фурье функции s(t) с периодом

Сглаживание пульсаций. Сигма-факторы
Методика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда

Сглаживание пульсаций. Сигма-факторы
Методика сглаживания К. Ланцоша – усреднение частичных сумм ряда