Приближенное вычисление интегралов (тема 9)

Август 7, 2022

Главная
Математика
Приближенное вычисление интегралов (тема 9)

Содержание

2. Формулы для вычисления интеграла получают следующим образом. Интервал [a, b] разбивают на n отрезков длиной h
3. Интерполяционным многочленом называ-ют алгебраический многочлен степени (n – 1), со-впадающий с аппроксимируемой (заменяемой) функцией в выбранных
4. В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через зна-чения подынтегральной функции в выбранной системе точек.
5. Формула средних Формула средних получается, если на каж-дом i-м отрезке взять один центральный узел xi+1/2 =
6. Рис. 1. Иллюстрация формулы средних
7. Формула трапеций Формула трапеций получается при замене функции f(x) на каждом отрезке [xi, xi+1] многочленом первого
8. Рис. 2. Иллюстрация формулы трапеций
9. Формула Симпсона Эта формула получается при замене функции f(x) на каждом отрезке [xi, xi+1] многочленом второго
10. После приведения подобных членов полу-чаем более удобный для программирования вид:
11. Рис. 3. Иллюстрация формулы Симпсона
12. Расчет интеграла по заданной точности ε Метод 1. Один из вариантов вычисления интеграла с заданной точностью:
13. Метод 2 – классическая схема автоматиче-ского выбора шага. Анализ формул (1) – (3) показал, что точное
14. Формулы Гаусса В рассмотренных формулах в качестве узлов многочлена выбирались середины и (или) концы интервала разбиения.
15. Анализ показал, что узлами, удовлетворяю-щими такому условию, являются нули ортого-нальнoго многочлена Лежандра степени n : {
16. Для n = 2 узлы должны быть выбраны сле-дующим образом (два узла): xi1 = xi+1/2 –
17. Для n = 3 выбираются три узла: xi0 = xi+1/2 ; xi1 = xi0 – h/2
18. Рассмотрим пример Написать и отладить программу вычисления значения интеграла от функции f(x) = 4 x –
19. void main () { double a, b, x, eps, h, I1, I2, pogr; int n, n1,
20. if ( kod == 1 ) { // Выполняем расчет по числу разбиений n cout cin
21. do { /* Увеличиваем число разбиений и находим новое значение интеграла I2 */ n1 *= 2;
22. cout /* Выводим количество разбиений n1, при кото-ром была достигнута заданная точность */ } // Конец
23. Функция метода Симпсона double Metod (double ( *f ) (double x), double a, double b, int
25. Скачать презентацию

Слайд 2

Формулы для вычисления интеграла
получают следующим образом.
Интервал [a, b] разбивают

на n отрезков длиной h = (b – a) / n (в общем случае – разной длины), тогда значение интеграла по всей области равно сумме интегралов на этих отрезках.
На каждом отрезке [xi, xi+1] выбирают 1 – 5 узлов и по ним строят интерполяционный много-член соответствующего порядка. Вычисляют ин-теграл от этого многочлена на отрезке.

Слайд 3

Интерполяционным многочленом называ-ют алгебраический многочлен степени (n – 1), со-впадающий с

аппроксимируемой (заменяемой) функцией в выбранных n точках (узлах).
Общий вид многочлена:
Pn-1(x) = c1x + c2x2 + … + cnxn-1 .

Слайд 4

В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через зна-чения подынтегральной

функции в выбранной системе точек.
Такие выражения называют квадратурными формулами.
Рассмотрим наиболее часто используемые ква-дратурные формулы для отрезков равной длины:
h = (b – a) / n;
xi = a + (i – 1) ⋅ h; i = 1, 2, … , n.

Слайд 5

Формула средних
Формула средних получается, если на каж-дом i-м отрезке взять один

центральный узел xi+1/2 = (xi + xi+1)/2, соответствующий середине отрезка. Функция на каждом отрезке заменяется многочленом нулевой степени (константой)
P0(x) = yi+1/2 = f (xi+1/2). Заменяя площадь криволинейной фигуры площадью прямоуголь-ника высотой yi+1/2 и основанием h, получим приближенную формулу для расчета (рис. 1):

(1)

Слайд 6

Рис. 1. Иллюстрация формулы средних

Слайд 7

Формула трапеций
Формула трапеций получается при замене функции f(x) на каждом отрезке

[xi, xi+1] многочленом первого порядка, т.е. прямой, проходящей через точки (xi, yi), (xi+1, yi+1). Площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции с основаниями yi, yi+1 и высотой h (рис. 2):

(2)

Слайд 8

Рис. 2. Иллюстрация формулы трапеций

Слайд 9

Формула Симпсона
Эта формула получается при замене функции f(x) на каждом

отрезке [xi, xi+1] многочленом второго порядка (параболой) с узлами xi, xi+1/2, xi+1. После интегрирования параболы получаем (рис. 3):

(3)

Слайд 10

После приведения подобных членов полу-чаем более удобный для программирования вид:

Слайд 11

Рис. 3. Иллюстрация формулы Симпсона

Слайд 12

Расчет интеграла по заданной точности ε
Метод 1. Один из вариантов вычисления

интеграла с заданной точностью:
1) задают начальное число разбиений n и вычисляют приближенное значение интеграла I1 выбранным методом;
2) число интервалов удваивают n = 2 n;
3) вычисляют новое значение интеграла I2;
4) если |I1 – I2| ≥ ε, то I1 = I2 и расчет повторяют – переход к п. 2; иначе (|I1 – I2| < ε) – заданная точность достигнута, выводят резуль-таты: I2 – найденное значение интеграла с задан-ной точностью ε и n – количество разбиений.

Слайд 13

Метод 2 – классическая схема автоматиче-ского выбора шага.
Анализ формул (1)

– (3) показал, что точное значение интеграла находится между значения-ми ФСР и ФТР и выполняется соотношение
ФСИ = (ФТР + 2⋅ФСР) / 3. (4)
Расчет начинается с n = 2 и производится по двум методам ФСР и ФТР.
Если |ФСР – ФТР| ≥ ε, увеличивают n = 2n и расчет повторяют.
Если точность достигнута, то окончательное значение интеграла находят по формуле (4).

Слайд 14

Формулы Гаусса
В рассмотренных формулах в качестве узлов многочлена выбирались середины и

(или) концы интервала разбиения.
Оказывается, что увеличение количества узлов не всегда приводит к уменьшению погре-шности, т.е. за счет удачного расположения узлов можно значительно увеличить точность.
Суть методов Гаусса порядка n состоит в таком выборе расположения n узлов многочлена на отрезке [xi, xi+1], при котором достигается минимум погрешности квадратурной формулы.

Слайд 15

Анализ показал, что узлами, удовлетворяю-щими такому условию, являются нули ортого-нальнoго многочлена

Лежандра степени n :
{ φ1(x) = 1; φ2(x) = x;
φk+1(x) = [ (2k + 1) x φk(x) – k φk–1(x)],
k = 2, 3, …, n } .
Так, для n = 1 один узел должен быть выбран в центре.
Следовательно, метод средних является методом Гаусса 1-го порядка.

Слайд 16

Для n = 2 узлы должны быть выбраны сле-дующим образом (два

узла):
xi1 = xi+1/2 – h/2 * 0.5773502692;
xi2 = xi+1/2 + h/2 * 0.5773502692;
и формула Гаусса 2-го порядка имеет вид:

Погрешность этой формулы при h → 0 такой же, как у метода Симпсона, хотя используется только 2 узла.

Слайд 17

Для n = 3 выбираются три узла:
xi0 = xi+1/2 ;
xi1 =

xi0 – h/2 * 0.7745966692 ;
xi2 = xi0 + h/2 * 0.7745966692 ;
и формула Гаусса 3-го порядка имеет вид:

Погрешность этой формулы при h → 0 имеет 7-й порядок, что значительно выше, чем у формулы Симпсона, практически при одинаковых вычислительных затратах.

Слайд 18

Рассмотрим пример
Написать и отладить программу вычисления значения интеграла от функции f(x)

= 4 x – 7 sinx на интервале [a, b] методом Симпсона с выбором: по заданному количеству разбиений n и заданной точности ε (метод 1).
На интервале [–2, 3] интеграл равен 5,983.
Текст программы в может иметь вид:
. . .
// Декларации прототипов функций Пользователя
double fun (double);
double Metod (double (*f )(double), double, double, int);

Слайд 19

void main () {
double a, b, x, eps, h, I1, I2,

pogr;
int n, n1, kod;
cout << " If a = -2, b = 3, Int = 5,983" << endl;
// Цикл, организующий повторение расчетов
do {
cout << " Input a, b : ";
cin >> a >> b;
/* Выбор расчета: 1 – по разбиению на n, иначе по точности eps */
cout << "\n\t Input 1 – n, Else – eps : ";
cin >> kod;

Слайд 20

if ( kod == 1 ) {
// Выполняем расчет по числу

разбиений n
cout << " Input n : ";
cin >> n;
I1 = Metod ( fun, a, b, n );
}
else {
// Иначе, выполняем расчет по точности eps
cout << " Input eps : ";
cin >> eps;
n1 = 2;
// Начальное число разбиений n1, интеграл – I1
I1 = Metod ( fun, a, b, n1 );

Слайд 21

do {
/* Увеличиваем число разбиений и находим новое значение интеграла

I2 */
n1 *= 2;
I2 = Metod ( fun, a, b, n1);
pogr = fabs (I2 – I1);
I1 = I2;
} while ( pogr > eps );
/* Цикл выполняем пока разница между предыду-щим значением интеграла I1 и найденным I2 не станет меньше eps */

Слайд 22

cout << "\t n = " << n1 << endl;
/*

Выводим количество разбиений n1, при кото-ром была достигнута заданная точность */
} // Конец else
cout << "\n\t Integral = " << I1 << endl;
// Выводим найденное значение интеграла I1
cout << "\n Repeat - 1, Else - EXIT " << endl;
/* Для повторения (Repeat) введите 1, чтобы усло-вие getch() == '1' в следующем операторе while было истинным, иначе – конец программы */
} while ( getch() == '1' );
}

Слайд 23

Функция метода Симпсона
double Metod (double ( *f ) (double x),

double a,
double b, int n)
{
double s = 0, h, x;
h = (b - a) / n; // Находим шаг
x = a;
// Выполняем расчеты согласно формуле (3)
for ( int i = 1; i <= n; i++) {
s += f (x) + 4 * f (x + h/2) + f (x + h);
x += h;
}
return s * h / 6;
}

Приближенное вычисление интегралов (тема 9)

Содержание

Формулы для вычисления интеграла получают следующим образом. Интервал [a, b] разбивают

Интерполяционным многочленом называ-ют алгебраический многочлен степени (n – 1), со-впадающий с

В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через зна-чения подынтегральной

Формула средних Формула средних получается, если на каж-дом i-м отрезке взять один

Рис. 1. Иллюстрация формулы средних

Формула трапеций Формула трапеций получается при замене функции f(x) на каждом отрезке

Рис. 2. Иллюстрация формулы трапеций

Формула Симпсона Эта формула получается при замене функции f(x) на каждом

После приведения подобных членов полу-чаем более удобный для программирования вид:

Рис. 3. Иллюстрация формулы Симпсона

Расчет интеграла по заданной точности ε Метод 1. Один из вариантов вычисления

Метод 2 – классическая схема автоматиче-ского выбора шага. Анализ формул (1)

Формулы Гаусса В рассмотренных формулах в качестве узлов многочлена выбирались середины и

Анализ показал, что узлами, удовлетворяю-щими такому условию, являются нули ортого-нальнoго многочлена

Для n = 2 узлы должны быть выбраны сле-дующим образом (два

Для n = 3 выбираются три узла: xi0 = xi+1/2 ; xi1 =

Рассмотрим пример Написать и отладить программу вычисления значения интеграла от функции f(x)

void main () { double a, b, x, eps, h, I1, I2,

if ( kod == 1 ) {// Выполняем расчет по числу

do {/* Увеличиваем число разбиений и находим новое значение интеграла

cout << "\t n = " << n1 << endl;/*

Функция метода Симпсонаdouble Metod (double ( *f ) (double x),

Похожие презентации