Применение производной к исследованию функции

Исследование функций с помощью производной позволяет более точно строить их графики,

Схема исследования функции

Область определения
Чётность, нечётность
Периодичность
Точки пересечения графика с осями координат
Промежутки знакопостоянства
Монотонность
Точки

Область определения функции

Множество всех значений аргумента, при котором функция определена.

D(f)

Чётность, нечётность

D(f)-симметрична относительно О(0;0).
Если f(-x)=f(x)-функция четная.
Если f(-x)=-f(x)-функция нечетная.
Если функция ни та,

Четная функция

Нечетная функция

Периодичность

Если Т-период, то f(x+T)=f(x-T)=f(x)

Синусоида- график одной из периодических функций

Точки пересечения графика с осями координат

Нули функции
Значение аргумента при котором значение

Промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна,

Монотонность

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых

Функция возрастает

Функция убывает

Экстремумы

Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция

Множество значений функции Наибольшее и наименьшее значение

Множество значений функции – множество чисел,

Вспомогательные точки

Точки, требуемые при построения графика.(Если выявленных точек не достаточно для

График

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями

Исследование функции y=(x2+x)/(x2-3x+2)

Упростим выражение
y=(x2+x)/(x2-3x+2); y=(x2+x)/((x-1)*(x-2))
D(f)=R\1,2
Функция общего вида,
т.к.f(-x)≠f(x) и f(-x)≠

Промежутки знакопостоянства
Находим производную функции
y’=(-4x2+4x+2)/((x-1)2*(x-2)2)
D(f’)=R\1;2
Находим промежутки возрастания и убывания функции
(-4x2+4x+2)/((x-1)2*(x-2)2)=0
-4x2+4x+2=0
x1=

Экстремумы
x= (-1+√3)/-2 -точка минимума;
y((-1+√3)/-2)=(2-2√3)/(3+2√3)
x= (-1-√3)/-2-точка максимума;
y((-1+-√3)/-2)=(2+2√3)/(3-2√3)
9.
E(y)=(-∞;(2-2√3)/(3+2√3)U(2+2√3)/(3-2√3);+∞)