Признаки равенства треугольников

треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

A

B

C

B1

A1

C1

AB=A1B1
BC=B1C1
Угол В = углу В1

Доказательство

Содержание

доказана.

А

В

С

А1

В1

С1

А1(А)

В1(В)

С1(С)

Второй признак

Содержание

Дано: ∆АВС и ∆А1В1С1,
АВ = А1В1,
АС = А1С1,
угол А = угол А1 .
Д-ть : ∆АВС = ∆А1В1С1.
Д-во: Т. к. угол А = углу А1,
то ∆ АВС → ∆А1В1С1 так , что

А →А1
АВ→ А1В1
АС→ А1С1

В→В1
С→С1

В

С

угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

А

В

С

А1

В1

С1

АС=А1 С1
угол А = углу А1
угол С = углу С1

Доказательство

Содержание

= углу А1
угол В = углу В1.

Д-ть: ∆АВС = ∆А1В1С1
Д-во: Наложим ∆АВС на ∆А1В1С1 так, чтобы А → А1,
АВ → А1В1
С и С1 оказались по одну сторону от А1В1.

Т к угол А = углу А1
угол В = углу В1

АС → луч А1С1,
ВС→луВ1С1

Поэтому С (общая точка АС и ВС) окажется на лучах А1С1 и В1С1 => С→С1.
Значит, АС →А1С1, ВС→В1С1.
Итак, ∆АВС → ∆А1В1С1 ,поэтому они равны. Теорема доказана.

С

трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

А

В

С

А1

В1

С1

АВ=А1В1
ВС=В1С1
АС=А1С1

Доказательство

Содержание

СА = С1А1.

Д-ть, что ∆АВС = ∆ А1В1С1

Д-во: Приложим ∆АВС к ∆А1В1С1 так, чтобы
А →А1, В → В1, С и С1 - по разные стороны от А1В1.

Возможны три случая:
1) луч С1С - внутри угла А1С1В1;
2)луч С1С совпадает с С1А1 или С1В1;
3)луч С1С - вне угла А1С1В1.

Т. к. АС = А1С1, ВС = В1С1, то ∆А1С1С и ∆В1С1С – рав/бед.,
угол 1 = углу 2, угол 3 = углу 4,
поэтому, угол А1СВ1 = углу А1С1В1.

Итак, АС=А1С1, ВС=В1С1, угол С = углу С1.
Следовательно, ∆АВС =∆ А1В1С1 (по первому признаку)

Теорема доказана.

А(А1)

С1

С

В(В1)

равен углу Е, АВ=20 см, АС=18 см, DE=18см, EF=20см. Сравните ∆АВС и ∆DEF . Какой угол в ∆DEF равен углу В?

Решение:
1). АВ= EF=20
2). АС= DE=18
3). угол А равен углу Е

∆АВС = ∆DEF (по первому признаку равенства треугольников)

Угол F ∆DEF равен углу В ∆АВС, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС.

Ответ:
∆АВС =∆DEF,
угол F равен углу В.

Далее

является серединой каждого из них. Чему равен отрезок ВД, если отрезок АС равен 6 м?

Дано:
АВ, СД, СО=ОД АО=ОВ, АС=6 м.

Решение:
1). угол АОС равен углу ВОД (вертикальные)
2). АО=ОВ (по условию)
3). СО=ОД (по условию)

∆АОС=∆ВОД (по первому признаку равенства треугольников)

Из того что ∆АОС=∆ВОД следует равенство их сторон, т е АС=ВД.
По условию АС=6 м, то и ВД=6м.

Ответ:
ВД=6 м.

Далее

Содержание

угол В равен углу F , АВ=ЕF. Сравнить эти треугольники. Какие стороны ∆DEF соответственно равны сторонам ВС и СА ∆АВС ?

Дано:
Угол А равен углу Е, угол В равен углу F , АВ=ЕF.

Решение:
1). угол В равен углу F
2). угол А равен углу Е
3). АВ=ЕF

∆АВС = ∆DEF (по второму признаку рав-ва треуг.)

Стороны DF и DE ∆DEF равны соответственно сторонам ВС и СА ∆АВС, т к стороны DF и ВС
(DE и СА) лежат против равных углов Е и А (F и B).

Ответ:
∆АВС = ∆DEF,
DF = ВС, DE = СА.

Содержание

Далее

СВА,
углы САВ и ДВА равны, СА=13 см. Найти ДВ.

Дано:
Угол ДАВ равен углу СВА, угол САВ равен углу ДВА,
СА=13 см.

Решение:
1). АВ – общая сторона ∆АВС и ∆АВД
2). угол ДАВ равен углу СВА
3). угол САВ равен углу ДВА

∆АВС = ∆АВД(по второму признаку равенства треугольников)

Т к ∆АВС= ∆АВД, то ВД=АС. Отсюда получаем, что ВД=АС=13см.

Ответ:
ВД=13 см

100°. Найти угол Д.

Дано:
ВС=АД, АВ=ДС, Угол В равен 100°

Решение:
Рассмотрим треугольники ∆АВС и ∆АДС:
1). АВ=ДС
2). ВС=АД
3). АС - общая

∆АВС = ∆АДС (по третьему признаку)

Из равенства треугольников следует, что угол В равен углу Д, но угол В равен 100°,
Значит и угол Д равен 100°.

Ответ:
угол Д равен 100°.

к отрезку равноудалена от его концов.

Дано:
АР, АО=ОР, ОМ перпендикулярен к АР.

Доказательство:
Пусть а – серединный перпендикуляр к отрезку АР и О - середина отрезка АР.
Рассмотрим произвольную точку м, лежащую на прямой а.
Проведём отрезки АМ и ВМ.
Треугольники ∆АОМ и ∆ВОМ равны, так как
1). Угол АОМ равен углу РОМ и равен 90°
2). ОМ – общая сторона
3). АО=ОР (по условию)
Из равенства треугольников следует, что АМ=ВМ
ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ!!!

а

АВС, а ДР – биссектриса угла АДС. Докажите, что
А). Угол АВЕ = углу АДР;
Б). ∆АВЕ=∆СДР

Дано: АВ=СД, АД=ВС, ВЕ, ДР - биссектрисы

Решение:
Рассмотрим ∆СДА и ∆СВА: 1). СД=ВА
2). АД=ВС
3). АС - общая

∆СДА=∆СВА(по третьему признаку рав-ва треуг.)

Т. к. ∆СДА=∆СВА, то угол СДА = углу СВА, ВЕ и ДР – биссектрисы равных углов, отсюда угол
АВЕ = углу СДР.

Угол ДСА = углу САВ (т к ДА ll СВ), откуда ∆АВЕ=∆СДР (по второму признаку рав-ва треуг)
Ч.Т.Д.

равны, АВ=А1В1, АС=А1С1. Докажите, что ∆АВС=∆А1В1С1.

Дано:
ВМ=В1М1, АВ=А1В1, АС=А1С1.

Решение:
Т к АС=А1С1 и ВМ и В1М1 медианы к этим сторонам, то АМ=А1М1 (как половины равных углов).
1). АВ=А1В1 (по усл)
2). ВМ=В1М1 (по усл)
3). АМ=А1М1 (см выше)

∆АВМ=∆А1В1М1 (по 3 признаку)

4).Угол СМВ = С1М1В1 (как смежные с соответствующими равными углами АМВ и А1М1В1)
5). МС=М1С1 (как половины равных сторон)
6).ВМ=В1М

∆ВМС=∆В1М1С1
по 1 признаку.

Из того, что ∆ВМС=∆В1М1С1 следует, что ВС=В1С1.

Итак, АВ=А1В1, АС=А1С1, ВС=В1С1, вывод: ∆АВС=∆А1В1С1 (по 3 признаку). ЧТД

АС=6,7см. Найдите СК?

А

В

С

К

О

причем ОН=ОN. Найдите длину отрезка МК, если ЕN=7,8 см, ОЕ=8,6 см, НМ=6,3 см.

О

М

Н

К

Е

N

F

верное?

А

В

С

D

E

F

см. Сторона С1Д1 в 2,5 раза меньше Д1Е1, а С1Е1 на 8 см меньше стороны Д1Е1. Найдите большую сторону треугольника СДЕ.

причем ∆АВО=∆КРЕ. Найдите отрезок ЕМ, если АС=9см, а ЕМ>КЕ на 3,8см.

и К в разные полуплоскости проведены равные отрезки МА и КВ, причем угол АМК = углу ВКМ. Какие из высказываний верные?

1). ∆АМВ=∆АКВ;
2). Угол АКМ = углу ВМК
3). ∆МКА=∆КМВ;
4).угол АМВ = углу КВМ

состоящая из трех звеньев?

АС=6,7см. Найдите СК?

А

В

С

К

О

и К в разные полуплоскости проведены равные отрезки МА и КВ, причем угол АМК = углу ВКМ. Какие из высказываний верные?

1). ∆АМВ=∆АКВ;
2). Угол АКМ = углу ВМК
3). ∆МКА=∆КМВ;
4).угол АМВ = углу КВМ

состоящая из трех звеньев?

причем ОН=ОN. Найдите длину отрезка МК, если ЕN=7,8 см, ОЕ=8,6 см, НМ=6,3 см.

О

М

Н

К

Е

N

F

причем ∆АВО=∆КРЕ. Найдите отрезок ЕМ, если АС=9см, а ЕМ>КЕ на 3,8см.

верное?

А

В

С

D

E

F

см. Сторона С1Д1 в 2,5 раза меньше Д1Е1, а С1Е1 на 8 см меньше стороны Д1Е1. Найдите большую сторону треугольника СДЕ.

30см
28см
35см
25см

Александра Александровна