Проект Никишина Алексея Тема: «Понятие числового ряда» Димитровград 2008- 2009 год

Август 25, 2022

Главная
Математика
Проект Никишина Алексея Тема: «Понятие числового ряда» Димитровград 2008- 2009 год

Содержание

2. Определение числового ряда Сумма ряда Примеры числовых рядов Определение частичной суммы Сходящиеся и расходящиеся ряды Признак
3. Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей: U1, u2, u3, un, …, и с
4. u1, u2 , u3, …, un, … s1, s2 , s3, …, sn, … , где
5. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел Этот
6. Пример 1. Выражение 1 + (-1) + 1 + (-1) + … + (-1)n+1 + …
7. Пример 2. Выражение является рядом. Из членов составляют частичные суммы Примеры числовых рядов.
8. Пример 3. Ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … + n + …
9. Пример 4. Ряд 1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1 + … - расходящийся,
10. Поэтому Исследование на сходимость.
11. Ряд u1 + u2 + … + un + … может сходится, когда общий член ряда
12. Пример 5. Ряд 0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 + … - расходится, т.к. общий
13. Сумма ряда. Если знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству: |q| то последовательность частичных сумм (Sn) имеет предел: который
14. Признак Даламбера Если члены положительного ряда а1+а2+ …+ аn+… таковы, что существует , то при ряд
15. Применение признака Даламбера Примеры Исследовать на сходимость следующие ряды: 1. 2. Решение: воспользуемся признаком Даламбера: ряд
16. Применение признака Даламбера Решение второго примера: т.к. , то ряд расходится.
17. Леонард Эйлер (1707-1783) Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук, автор огромного количества научных открытий
18. Краткая историческая справка Жан Лерон Даламбер получил своё имя по названию маленькой церкви на ступени которой
19. Краткая историческая справка Однако сенсуализм его не был последовательно материалистическим. По Даламберу, мышление не является свойством
20. Использованная литература. И. И. Баврин, В. Л. Матросов «Общий курс высшей математики» Москва, 1995; А. Г.
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение числового ряда
Сумма ряда
Примеры числовых рядов
Определение частичной суммы
Сходящиеся и расходящиеся ряды
Признак

Даламбера, исследование на сходимость
Использованная литература и программное обеспечение.

Содержание.

Слайд 3

Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей: U1, u2,

u3, un, …,
и с понятием бесконечных рядов u1 + u2 + u3 + … + un + …
числа u1, u2 , u3, … - члены ряда.
Пользуясь введенным Эйлером знаком суммы ,
рассмотрим частичные суммы данного ряда.
s1 = u1 – первая частичная сумма,
s2 = u1 + u2 –вторая частичная сумма,
s3 = u1 + u2 + u3 – третья и т.д.
Сумма sn = u1 + u2 + u3 + … + un - частичная сумма ряда.

Определение числового ряда.

Слайд 4

u1, u2 , u3, …, un, …
s1, s2 , s3,

…, sn, … , где
s1 = u1,
s2 = u1 + u2,
s3 = u1 + u2 + u3, ……………………………
sn = u 1+ u2 + u3 + … + un,
……………………………
При частичная сумма имеет предел

Сумма ряда.

Слайд 5

Сходящиеся и расходящиеся ряды.
Ряд называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм
имеет

конечный предел
Этот предел называется суммой сходящегося ряда.
Если последовательность частичных
сумм не имеет конечного предела, то ряд
называется расходящимся.

Слайд 6

Пример 1.
Выражение
1 + (-1) + 1 + (-1) + …

+ (-1)n+1 + …
является рядом.
Составим частичные суммы
s1 = 1, s2 = 1 - 1 = 0, s3 = 1 – 1 + 1 = 1, …,

Примеры числовых рядов.

Слайд 7

Пример 2.
Выражение
является рядом.
Из членов
составляют частичные суммы
Примеры числовых рядов.

Слайд 8

Пример 3.
Ряд
1 + 2 + 3 + 4 + …

+ n + … -
расходящийся, т.к. последовательность его
частичных сумм
s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6, … ,
имеет бесконечный предел.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов.

Слайд 9

Пример 4.
Ряд
1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1

+ … -
расходящийся, т.к. последовательность его
частичных сумм
не имеет никакого предела.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов.

Слайд 10

Поэтому
Исследование на сходимость.

Слайд 11

Ряд
u1 + u2 + … + un + …
может

сходится, когда общий член ряда un стремится к нулю:

Необходимое условие сходимости ряда.

Слайд 12

Пример 5.
Ряд
0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 +

… - расходится, т.к. общий член ряда не стремиться к нулю.
Пример 6.
Ряд
1 – 1 + 1 – 1 + … - расходится, т.к. общий член
ряда не стремится к нулю.

Необходимое условие сходимости ряда.

Слайд 13

Сумма ряда.
Если знаменатель прогрессии удовлетворяет
неравенству:
|q| < 1,
то последовательность частичных сумм

(Sn)
имеет предел:
который называют суммой бесконечно
убывающей геометрической прогрессии (т.е.
суммой ряда).

Слайд 14

Признак Даламбера
Если члены положительного ряда
а1+а2+ …+ аn+…
таковы, что существует

,
то при ряд сходится,
а при ряд расходится.

Слайд 15

Применение признака Даламбера
Примеры
Исследовать на сходимость следующие ряды:
1.
2.
Решение: воспользуемся признаком

Даламбера:
ряд сходится.

Слайд 16

Применение признака Даламбера
Решение второго примера:
т.к. , то ряд расходится.

Слайд 17

Леонард Эйлер
(1707-1783)
Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук,

автор огромного количества научных открытий во всех областях математики. Эйлер первым применил средства математического анализа в теории чисел, положил начало топологии.

Краткая историческая справка

Слайд 18

Краткая историческая справка
Жан Лерон Даламбер получил своё имя по названию

маленькой церкви на ступени которой он был подброшен матерью. Жена бедного стекольщика заменила ему мать. Воспитатели Жана хотели, чтобы он был юристом или врачом, однако он стал математиком и срилососром.
Став знаменитостью и гордостью французской науки, Даламбер вознаградил стекольщика и его жену, следя за тем, чтобы они не оказались в нужде, и всегда с гордостью называл их своими родителями.
Жан Лерон Даламбер один из главных деятелей «Энциклопедии» и ее редакторов. С1751 г. вместе с Д. Дидро участвовал в её создании (1-й том вышел в 1/51—52 гг.). Написал введение к ней, являющееся одним из самых блестящих образцов «научного стиля». В срилососрии Даламбер был сторонником сенсуализма и противником декартовской теории врожденных идей.

Слайд 19

Краткая историческая справка
Однако сенсуализм его не был последовательно материалистическим. По

Даламберу, мышление не является свойством материи, а душа имеет независимое от материи существование.
В противоположность другим французским просветителям он утверждал, что нравственность не обусловлена общественной средой. Даламбер признавал бога как образующую субстанцию. Критика непоследовательного сенсуализма Даламбера была дана в работах Дидро.
В "Трактате о динамике" (1758 г.) излагает свой принцип рассмотрения механической системы со связями, сводящий любую задачу динамики к задаче равновесия.
В 1794 г. избран во Французскую академию. В1757г. он покинул редакцию «Энциклопедии». В середине 1/60-х гг. Даламбер был приглашён российской императрицей Екатериной II в качестве воспитателя наследника престола, но он отказался принять приглашение.

Слайд 20

Использованная литература.
И. И. Баврин, В. Л. Матросов «Общий курс высшей математики»

Москва, 1995;
А. Г. Цыпкин «Справочник по математике» Москва, 1983;
М. Я. Выгодский «Справочник по высшей математике» Москва, 1997

Проект Никишина Алексея Тема: «Понятие числового ряда» Димитровград 2008- 2009 год

Содержание

Определение числового рядаСумма рядаПримеры числовых рядовОпределение частичной суммыСходящиеся и расходящиеся рядыПризнак

Еще в древности ученые встречались с понятием бесконечных последовательностей: U1, u2,

u1, u2 , u3, …, un, … s1, s2 , s3,

Сходящиеся и расходящиеся ряды. Ряд называется сходящимся, еслипоследовательность его частичных суммимеет

Пример 1. Выражение1 + (-1) + 1 + (-1) + …

Пример 2. Выражениеявляется рядом. Из членов составляют частичные суммыПримеры числовых рядов.

Пример 3. Ряд1 + 2 + 3 + 4 + …

Пример 4. Ряд1 – 1 + 1 – 1+ … +(-1)n+1

ПоэтомуИсследование на сходимость.

Рядu1 + u2 + … + un + … может

Пример 5. Ряд0,4 + 0,44 + 0,444 + 0,4444 +

Сумма ряда.Если знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству:|q| < 1,то последовательность частичных сумм

Признак ДаламбераЕсли члены положительного ряда а1+а2+ …+ аn+…таковы, что существует

Применение признака Даламбера ПримерыИсследовать на сходимость следующие ряды: 1.2.Решение: воспользуемся признаком

Применение признака ДаламбераРешение второго примера:т.к. , то ряд расходится.

Леонард Эйлер(1707-1783) Швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии наук,

Краткая историческая справка Жан Лерон Даламбер получил своё имя по названию

Краткая историческая справка Однако сенсуализм его не был последовательно материалистическим. По

Использованная литература.И. И. Баврин, В. Л. Матросов «Общий курс высшей математики»

Похожие презентации