Производная функции

производной) называется производная от производной n -1 - ого порядка.

Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка и обозначается:

Итак:

производные обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках:

Вычислить производную n – ого порядка от функции:

по формуле:

Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями:

Найдем производную второго порядка:

Аналогично получаем:

и т. д.

функции:

отличную от нуля производную, следовательно существует предел:

где

при

По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции

часть ее приращения:

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной

Поэтому:

Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной

М(x, y) касательную

х

f(x )

x+Δx

М

М1

f(x+ Δx )

Рассмотрим ординату касательной для точки x+Δx.

Согласно геометрическому смыслу производной,

B

A

Из прямоугольного треугольника AВМ имеем:

Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение Δx.

виде:

Это равенство позволяет с большой точностью вычислять приращение любой дифференцируемой функции.

Подставим в равенство выражения для приращения и дифференциала функции:

Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в точке x0+Δx, зная значение функции в точке x0.

0

0

0