Определители матриц. Обратная матрица, ранг матрицы

Определители.( детерминанты). (Детерминанты квадратных матриц 2-го и 3-го порядка)

Для квадратных матриц

Определение

Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 2-го порядка называется число .

Определение

Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы 3-го порядка называется число:

Теорема

Определитель матрицы 3-го порядка может быть выражен через определители 2-го порядка

Иногда подсчет значения определителя матрицы третьего порядка удобнее выполнить по следующему

Рассмотрим множество, состоящее из натуральных чисел . Будем обозначать перестановки этих

Определение: Будем говорить, что числа ki и kj образуют в перестановке

Пусть дана квадратная матрица

Определение:

Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы размера nxn называется число , получаемое

Определение. Дополнительным Мij минором произвольного элемента квадратной матрицы aij называется определитель

Замечание:

Поскольку в данном определении указано, что сумма берется по всем возможным

Формула для вычисления определителей:

det A =
где М1к–дополнительный минор элемента а1к.

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы,

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ:

Свойство1. det A = det AT;
Свойство 2. det (AB)

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее

Свойство 5. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы,

Свойство 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА (Нахождение и применение)

Обратная матрица

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного

Матрица , для которой , называется вырожденной, а матрица, для которой

Нахождение обратной матрицы

1) Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из

Таким образом, получаем систему уравнений:
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

2) При нахождении обратных матриц обычно применяют следующую формулу:
где xij –

3) К матрице Aij «дописывают» справа единичную матрицу. С помощью элементарных

Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:
1) умножение

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.
С помощью

Cвойства обратных матриц

(A-1)-1 = A;
2) (AB)-1 = B-1A-1
3) (AT)-1 =

ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений:
АХ=С ХВ=С АХВ=С
Решение:
Х=А-1С Х=СВ-1 Х=А-1СВ-1

Ранг матрицы.

Определение. Минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из

Определение. В матрице порядка m×n минор порядка r называется базисным, если

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg

Теорема о базисном миноре

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец

Пример.

Определить
ранг матрицы
RgA = 2.