ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задача Коши.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько

Наивысший порядок n входящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая п раз дифференцируемая функция ,

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (1) содержит n произвольных

задача Коши (дополнительные условия задаются в одной точке)
краевая задача (дополнительные

Пример:

Решение задачи Коши.
сущность метода конечных разностей. состоит в следующем:
1.

2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на

Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или

Метод Эйлера.
Рассмотрим уравнение
с начальным условием
для определенности будем

1. выбирается достаточно малый шаг и строится
система равноотстоящих точек
2.

При этом искомая интегральная кривая проходящая через точку заменяется ломанной с

Для оценки погрешности на практике пользуются двойным просчетом: с шагом h

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка
с начальными условиями

Приближенные значения вычисляются для этой системы по формулам

Модификации метода Эйлера.
1) Метод Эйлера-Коши

Оценка погрешности в точке , полученная с помощью двойного пересчета, имеет

2) другая модификация метода Эйлера заключается в итерационном уточнении значения на

Далее строится итерационный процесс
Итерации продолжают до тех пор, пока для двух

Как правило, при достаточно малом h итерации быстро сходятся.
Если после

Метод Рунге-Кутта.
Рассмотрим уравнение
с начальным условием

Если известно значение в точке , то вычисление приближенного значения в