Производная и ее применения

Содержание

Слайд 2

Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (a;b), в точке

Определение. Производной функции y=f(x), заданной на некотором интервале (a;b), в точке

х этого интервала, называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Производную функции f(x) обозначают f '(x) и говорят: «эф штрих от икс». Следовательно,

Понятие производной

Слайд 3

Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)). Зафиксировать значение х, найти f(x).

Алгоритм нахождения производной (для функции y=f(x)).
Зафиксировать значение х, найти f(x).
Дать аргументу

х приращение ∆х, перейти в новую точку х+∆х, найти f(x+∆x).
Найти приращение функции: ∆у=f(x+∆x)–f(x).
Составим отношения .
Вычислить
Этот предел и есть f '(x).
Слайд 4

Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3

Пример. Найти производную функции у=2х+3 в точке х=3

Слайд 5

Физический смысл производной Если при прямолинейном движении путь s, пройденной точкой,

Физический смысл производной

Если при прямолинейном движении путь s, пройденной точкой, есть

функция от времени t, т.е. s=f(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t)=f '(t), этот факт выражает механический смысл производной.
Слайд 6

пример Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах)

пример

Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от

него до точки В этой прямой изменяется по закону (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/ ?
Решение. Из механического смысла производной имеем скорость – это производная пути по времени. Скорость изменяется по закону . Так как ускорение – это производная скорости по времени, то ускорение изменяется по закону
, с другой стороны ускорение равно 36 м/ . Решим уравнение , t=5 c.
Ответ: через 5 секунд.
Слайд 7

Геометрический смысл производной Если в точке к графику функции y=f(x) проведена

Геометрический смысл производной

Если в точке к графику функции y=f(x) проведена касательная,

то число f '( ) есть тангенс угла альфа между этой касательной и положительным направлением оси ОХ, т.е. f '( )=tgα. Этот угол называю углом наклона касательной. Этот факт выражает геометрический смысл производной.
Слайд 8

Пример На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему

Пример

На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему

в точке с абсциссой .
Найдите значение производной функции f(x)
в точке .

Рис.1

Слайд 9

Решение. Значение производной f(x) в точке есть значение тангенса угла, образованного

Решение.

Значение производной f(x) в точке есть значение тангенса угла, образованного касательной

к графику функции с положительным направлением оси ОХ. Из треугольника АВС
Ответ: 1,75.

(рис.1).

Слайд 10

Вычисление производных Формулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения производных конкретных функций.

Вычисление производных
Формулами дифференцирования обычно называют формулы для нахождения производных конкретных функций.


Слайд 11

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Слайд 12

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Слайд 13

Правила дифференцирования Теорема 1. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную

Правила дифференцирования

Теорема 1.
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную

в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных:
Слайд 14

Теорема 2 Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то

Теорема 2

Если функция y=f(x) имеет производную в точке х, то

и функция y=kf(x) имеет производную в точке х, причем
Слайд 15

Теорема 3 . Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в

Теорема 3

. Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке

x, то и их произведение имеет производную в точке x, причем
Слайд 16

Теорема 4 Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке

Теорема 4

Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке

x и в этой точке g(x) ≠0,
то функция
имеет производную в точке х, причем
Слайд 17

Теорема 5 Если функция f имеет производную в точке а функция

Теорема 5

Если функция f имеет производную в точке
а функция имеет

производную в точке ,
то сложная функция также имеет производную в точке , причем
Слайд 18

Примеры. Найти производные функций . 1. 2. 3. 4. 5. Решения 1. 2. 3. 4. 5.

Примеры. Найти производные функций

.



1.
2.
3.
4.
5.

Решения

1.
2.
3.
4.
5.

Слайд 19

Применение производной при исследовании функции Пример 1. Функция y=f(x) определена на

Применение производной при исследовании функции
Пример 1.
Функция y=f(x) определена на промежутке

(-5;9). На рисунке 2 изображен график производной этой функции. Определите число касательных к графику функции y=f(x), которые наклонены под углом

к положительному направлению оси абсцисс.

Рис.2

Слайд 20

Решение. Рис.3 Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y=f(x)

Решение.

Рис.3

Пусть α –угол касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке

, и положительным направлением оси абсцисс, тогда .

Так как , то для решения задачи достаточно определить количество точек пересечения графика функции и прямой у=1. Таких точек четыре.

У=1

Слайд 21

Пример 2 На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x) найдите

Пример 2

На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x) найдите абсциссу

точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой у=1 или совпадает с ней.
Решение. Так как касательная параллельна прямой у=1, то ее угловой коэффициент равен 0 и тогда производная равна 0. По графику (рис.2) определяем, что производная обращается в ноль при х=-4; х=-0,5; х=3; х=7.

Рис.2

Слайд 22

Рис.4 Ответ: -4; -0,5; 3; 7.

Рис.4

Ответ: -4; -0,5; 3; 7.

Слайд 23

Пример 3. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на

Пример 3.

На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на

промежутке . Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) положительна.

Рис.5

Слайд 24

Решение. Производная функции положительна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь

Решение.

Производная функции положительна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь

промежутку возрастания, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку 2 определяем абсциссы таких точек: -4; -3; 2; 3; 4. Таких точек пять.

Рис.6

Слайд 25

Пример 4. На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на

Пример 4.

На рисунке 5 изображен график функции y=f(x), определенной на

интервале (-5;9). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение. Производная функции отрицательна в тех целых точках, которые принадлежат какому-нибудь промежутку убывания функции, за исключением точек, в которых производная равна нулю (в этих точках касательная к графику функции параллельна оси ОХ) или не существует. По рисунку определяем абсциссы таких точек: -1; 0; 6; 7; 8. Таких точек пять.

Рис.5

Слайд 26

Рис.7 Ответ:5

Рис.7

Ответ:5

Слайд 27

Пример 5. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной

Пример 5.

На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной

на интервале (-5;9). Найдите промежутки возрастания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Промежуткам возрастания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции положительна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 4.

Рис.2

Слайд 28

Рис.8 4

Рис.8

4

Слайд 29

Пример 6. На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной

Пример 6.

На рисунке 2 изображен график производной функции y=f(x), определенной

на интервале (-5;9). Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Промежуткам убывания функции соответствуют промежутки, на которых производная данной функции отрицательна. По графику определяем, что наибольший из этих промежутков имеет длину 3,5.

Рис.2

Слайд 30

Рис.9 3,5

Рис.9

3,5

Слайд 31

Пример 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

Пример 7.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

интервале (-5;9). Найдите количество точек максимума функции y=f(x).
Решение. Точек максимума здесь две, так как график производной 4 раза меняет знак на интервале (-5;9), из них два раза с плюса на минус. Это и есть точки максимума.

Рис.2

Слайд 32

Рис.10

Рис.10

Слайд 33

Пример 8. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

Пример 8.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

интервале (-5;9). Найдите точки минимума функции y=f(x).
Решение. На графике производной видно, что на интервале (-5;9)производная 4 раза меняет знак в точках х=-4; х=-0,5; х=3; х=7. Причем в точках х=-4; х=3 он меняется с минуса на плюс. Значит, эти точки являются точками минимума, так как в точках х=-4 и х=3 характер монотонности функции f(x) меняется с убывания на возрастание.

Рис.2

Слайд 34

Рис.11 -4 3

Рис.11

-4

3

Слайд 35

Пример 9. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

Пример 9.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

интервале (-5;9). Найдите количество точек экстремума функции y=f(x).
Решение. На промежутке (-5;9) точек экстремума функции y=f(x) ровно четыре: -4; -0,5; 3; 7.

Рис.2

Слайд 36

Рис.12 -3 -0,5 3 7

Рис.12

-3

-0,5

3

7

Слайд 37

Пример 10 На рисунке 13 изображен график производной функции y=f(x), определенной

Пример 10

На рисунке 13 изображен график производной функции y=f(x), определенной на

интервале (-5;4). Укажите абсциссы точек, в которой касательная к графику функции y=f(x) имеет наименьший и наибольший угловой коэффициент.

Рис.13

Слайд 38

Решение. Угловой коэффициент касательной . По графику определяем, что наименьшее значение

Решение.

Угловой коэффициент касательной . По графику определяем, что наименьшее значение

функция достигает при . А наибольшее значение функция достигает при .

Рис.14

-2

Слайд 39

Пример 11. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

Пример 11.

На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на

интервале (-5;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой у=-4х+3 или совпадает с ней.
Касательная к графику функции y=f(x) в некоторой точке параллельна прямой у=-4х+3, если значение производной функции в этой точке равно угловому коэффициенту прямой, то есть . По графику (рис. 15) видно, что принимает значение -4 в одной точке.

Рис.2

Слайд 40

у=-4 Рис.15

у=-4

Рис.15

Слайд 41

Пример 12. К графику функции y=f(x) проведена касательная в точке с

Пример 12.

К графику функции y=f(x) проведена касательная в точке с

абсциссой . На рисунке 16 изображен график производной этой функции. Определите градусную меру угла наклона касательной.

Рис. 16

Решение. Пусть

– угол наклона данной касательной к оси абсцисс. Так как

, то

.
Отсюда получаем

.
Ответ:

.

Слайд 42

Пример 14. На изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке (-5;9).

Пример 14.

На изображен график функции y=f(x), определенной на промежутке (-5;9).

Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-7.
Решение. Так как касательные параллельны прямой у=-7, то они параллельны оси ОХ, следовательно, производные функции f(x) в точках касания должны ровняться нулю. Это стационарные точки. На рисунке все они являются точками экстремума (максимумами или минимумами). Их три.

Рис.5

Слайд 43

Рис.17 Ответ: 3.

Рис.17 Ответ: 3.

Слайд 44

Рис.2

Рис.2


Слайд 45

Рис.1

Рис.1

- Предыдущая
Қарапайым математикалық ұғымдарды қалыптастыру әдістемесі бойынша қолданылатын дидактикалық-электронды ойындар жинағы
Следующая -
Уравнение касательной к графику функции

Похожие презентации

Задачи по математике
Задачи на готовых чертежах. Второй признак равенства треугольников
Логарифмы важны очень!
Уравнение плоскости по трем точкам с использованием матриц
Вероятность равновозможных событий
Теорема Виета. Развитие критического мышления школьников на уроке математики
Дифференциальные уравнения
Типовые звенья
Презентация по математике "Точки и линии. Прямая" - скачать бесплатно
Доли. Обыкновенные дроби
Решение уравнений
20161216_den_fibonachchi
Storymaze. Побег
Методы измерения физических величин
Степень числа. Квадрат и куб числа
Паралельные и перпендикулярные прямые
Десятки и единицы
Решение задач по теме "Цилиндр"
Статистика, часть 6. Временные ряды
Умножение рациональных чисел
Агапова Светлана Владимировна учитель математики Скрябина Наталия Анатольевна учитель биологии МОУ СОШ №4 г. Кирово - Чепецка
Одночлены. Многочлен. Цифровой диктант
Математические ребусы
Художественная математика
Параллельные прямые
Презентация по математике "Решение уравнений с модулем" - скачать
Цифра и число 4
Презентация по математике "Дробь" - скачать бесплатно
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть