Типовые звенья

Весовая функция

Частотная характеристика

АЧХ

ФЧХ и ЛФЧХ

ЛАЧХ

Область 1 – при

Область 2 – при

Область 3 – при

Дифференциальное уравнение

Переходная функция

Весовая функция

АЧХ

ФЧХ

ЛАЧХ

ЛФЧХ

Построение ЛАЧХ производим по характерным точкам:
при ω=1 L(ω)= –20 lg T = 20 lg 1/T = 20 lg k.
при ω=1/T L(ω)=0.

Наклон ЛАЧХ –20 дБ/дек соответствует наклону АЧХ –1,

Интегратор не пропускает на выход высокие частоты, являясь фильтром низких частот.

ЛАЧХ при какой-то определенной частоте ω1 равна L(ω1)= –20 lg ω1T. При увеличении частоты в 10 раз (на одну декаду) L(10ω1) = –20 lg 10ω1T = –20 lg ω1T – 20. Поскольку L(ω1) – L(10ω1) = 20 дБ, следовательно, ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую с наклоном –20 дБ/дек.

Весовая функция

Частотная характеристика

АЧХ

ФЧХ

В дифференциаторе выходной сигнал опережает входной по фазе на π/2, независимо от частоты ω.

ЛАЧХ

ЛФЧХ

Звено является помехонеустойчивым в том смысле, что оно подчеркивает высокочастотные помехи (наиболее частые на практике): даже при малой входной амплитуде высокочастотного сигнала на выходе можно наблюдать значительную высокочастотную составляющую

Дифференциальное уравнение

Переходная функция

Весовая функция

Используя выражение для переходной функции, можно определить:
h(T) = 0,632 k = 0,632 hуст
h(2T) = 0,865 hуст
h(3T) = 0,950 hуст
h(4T) = 0,982 hуст
Таким образом, переходный процесс практически закончится при

Постоянная времени T является мерой инерционности апериодического звена. Чем меньше значение Т, тем быстрее протекает переходный процесс.

ЛАЧХ

ЛФЧХ

Асимптотическая ЛАЧХ

При малых частотах

При больших частотах

Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух отрезков, пересекающихся на оси частот в точке, соответствующей частоте

- частота сопряжения

Асимптотическая ЛФЧХ

Весовая функция:

Частотная характеристика

АЧХ

ФЧХ

ЛАЧХ

ЛФЧХ

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Колебательное звено

k [1] – коэффициент усиления; T [c] – постоянная времени;

ξ [1] – коэффициент демпфирования, характеризует интенсивность затухания колебаний

Часто п.ф. колебательного звена представляют в нестандартных формах:

– угловая частота колебательного звена;

α, β – коэффициент затухания и частота свободных колебаний, могут быть определены как модули действительной и мнимой частей полюсов п.ф. колебательного звена в результате решения характеристического уравнения

:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в перечисленных формах записи п.ф., можно найти:

или

Эта форма записи часто используется в электромеханике. Например, в этой форме может быть представлен любой электродвигатель при определенных допущениях, причем Т1 выступает как электромагнитная постоянная времени; Т2 – механическая.

Если в результате анализа соотношения Т1 и Т2 оказывается, что ξ<1, полюсы будут комплексные (комплексно-сопряженные), и получается объект в виде колебательного звена. В противном случае (ξ≥1) корни знаменателя ПФ становятся вещественными, и звено представляет собой последовательное соединение двух апериодических звеньев, т.е. является инерционным 2-го порядка.

Т.о., значение ξ определяет характер переходного процесса (как будет показано ниже).

Установившееся значение:

hуст = k

Значение времени первого согласования tc можно узнать, если в выражении для переходной функции приравнять синус нулю, тогда

Равенство нулю весовой функции будет иметь место также для всех

Подставив tm в выражение для переходной функции, определим максимальное значение выходной переменной в переходном режиме:

где

Перерегулирование

Асимптотическая ЛФЧХ.

АЧХ

ФЧХ

ЛАЧХ

ЛФЧХ

Переходная функция

Весовая функция

Частотная характеристика:

АЧХ

ФЧХ

ЛАЧХ

ЛФЧХ

По определению ЛАЧХ и ЛФЧХ вычисляются следующим образом:

Таким образом, для построения ЛАЧХ или ЛФЧХ последовательного соединения звеньев следует построить соответствующие характеристики каждого звена, и затем геометрически их сложить.
Передаточную функцию (1) совокупности звеньев целесообразно представить в более развернутом виде:

(1)

– нормированная ПФ – отношение произведений ПФ элементарных звеньев 1-го и 2-го порядков т.е., вида

при

с единичным передаточным коэффициентом

– результирующий коэффициент передачи (усиления);

– порядок астатизма ПФ, численно равный количеству последовательно соединенных интеграторов в предположении, что чистые дифференцирующие звенья отсутствуют.

(2)

где значение коэффициента усиления и постоянных времени известны, и известно, что

Очевидно, имеем последовательное соединение четырех типовых звеньев

Строим асимптотические ЛАЧХ каждого из звеньев (пунктирные линии) и их геометрическую сумму (сплошная линия), которая и является результирующей ЛАЧХ. Аналогично поступаем с ЛФЧХ.

1) Пользуясь представлением (2) передаточной функции, вычисляют все частоты сопряжения

которые нумеруют в порядке возрастания и откладывают на оси частот;

2) Предварительную ЛАЧХ начинают строить от области низких частот, проводя прямую под наклоном

20 дБ/дек (

) так, чтобы она (или ее продолжение) пересекала ось частот при частоте

(Эта ЛАЧХ будет пересекать ось ординат в точке

Именно такой вид будет иметь ЛАЧХ совокупности последовательно соединенных интеграторов,

соответствующая первому множителю ПФ вида (2).

3) Низкочастотная ЛАЧХ будет претерпевать изломы только при частотах сопряжения

причем наклон будет изменяться на 20 дБ/дек (+1), если

-м

звеном оказывается форсирующее звено 1-го порядка,

на –20 дБ/дек (–1) – если апериодическое звено,

на +40 дБ/дек (+2) – если форсирующее звено 2-го порядка,

на –40 дБ/дек (–2) – если колебательное звено.

Что касается ЛФЧХ, то следует построить ЛФЧХ отдельных звеньев, и затем геометрически их просуммировать.

В случае наличия последовательно соединенного звена чистого запаздывания ЛАЧХ соединения остается без изменения, однако это звено окажет влияние на фазовый сдвиг.