Производная интеграла по переменному верхнему пределу

Если

то

Доказательство

По определению производной

Рассмотрим приращение F(x) :

( По теореме о среднем )

Следствие:

имеет на этом отрезке первообразную :

,или

(т.к. первообразная определена с точностью

Формула Ньютона-Лейбница.

Если

то

Доказательство:

Раз функция f(x) непрерывна, то она имеет первообразную

Следовательно, для вычисления определенного интеграла нужно:

Примеры.

Замена переменной в определенном
интеграле .

Если

то

Доказательство.
Пусть F(x) – первообразная для f(x),тогда

Примеры.

Интегрирование по частям в определенном
интеграле.

Если

то

Доказательство

Пример.