Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений

Содержание

2. Повторим значения синуса и косинуса у π/2 90° 120° 2π/3 1 π/3 60° 135° 3π/4 π/4
3. Арккосинус 0 π 1 -1 arccos(-а) Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π],
4. Уравнение cost = a 0 x y 2. Отметить точку а на оси абсцисс. 3. Построить
5. Частные случаи уравнения cost = a x y cost = 0 cost = -1 cost =
6. Арксинус Примеры: а - а arcsin(- а)= - arcsin а Арксинусом числа а называется такое число
7. Уравнение sint = a 0 x y 2. Отметить точку а на оси ординат. 3. Построить
8. Частные случаи уравнения sint = a x y sint = 0 sint = -1 sint =
9. Повторим значения тангенса и котангенса Линия тангенсов tg t ЄR , но t ‡ + π
10. Арктангенс 0 arctgа = t Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что
11. Арккотангенс у х 0 π arcctg а = t Арккотангенсом числа а называется такое число (угол)
12. Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1.cost = а , где |а| ≤ 1 или Частные случаи
13. Методы решения простейших тригонометрических уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Sin t=a; Cos t=a; где t=f(x) Разложение на
14. 1) cost= - ½; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t=
15. Решение простейших уравнений tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4
16. Другие тригонометрические уравнения 1.Сводимые к квадратным a∙sin²x + b∙sinx + c=0 Пусть sinx = p, где
17. Найти наименьший положительный корень
18. Найти наименьший положительный корень
19. Найти наибольший отрицательный корень
20. Найти наибольший отрицательный корень
22. Найти наименьший положительный корень
23. Наибольшее отрицательное (в градусах)
25. Самостоятельная работа 1. 2. 2. 3. 3. 1. I вариант (БУ) II вариант (ПУ) Решите уравнения:
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Повторим значения синуса и косинуса

у π/2 90°
120°

2π/3 1 π/3 60°
135° 3π/4 π/4 45°
150° 5π/6 1/2 π/6 30°
180° π -1 0 1 0 0° x
- - -1/2 ½ 2π 360 (cost)
210° 7π/6 1/2 11π/6 330° [-π/6]
-
225° 5π/4 - 7π/4 315° [-π/4]
240° 4π/3 -1 5π/3 300° [-π/3]
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)

Слайд 3

Арккосинус
0
π
1
-1
arccos(-а)
Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos

t = а.
Причём, | а |≤ 1.

arccos(- а) = π- arccos а

Примеры:

1)arccos(-1)

= π

Слайд 4

Уравнение cost = a
0
x
y
2. Отметить точку а на оси абсцисс.
3. Построить

перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью.

5. Полученные точки – решение уравнения cost = a.

6. Записать общее решение уравнения.

1. Проверить условие | a | ≤ 1

-t1

-1

Слайд 5

Частные случаи уравнения cost = a
x
y
cost = 0
cost = -1
cost =

π/2

-π/2

Слайд 6

Арксинус

Примеры:

а
- а
arcsin(- а)= - arcsin а
Арксинусом числа а

называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.

Слайд 7

Уравнение sint = a
0
x
y
2. Отметить точку а на оси ординат.
3. Построить

перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью.

5. Полученные точки – решение уравнения sint = a.

6. Записать общее решение уравнения.

1. Проверить условие | a | ≤ 1

π-t1

-1

Слайд 8

Частные случаи уравнения sint = a
x
y
sint = 0
sint = -1
sint =

Слайд 9

Повторим значения тангенса и котангенса
Линия тангенсов tg t ЄR , но

t ‡ + π k, kЄZ
у π/2
2π/3 π/3 1
5π/6 π/4
π/6 ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
0 х Линия котангенсов
у
4π/3
-π/2
π 0 х

Слайд 10

Арктангенс
0
arctgа = t
Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),

что tg t = а .
Причём, а Є R.

arctg(-а) = - arctg а

-а

arctg(-а )

Примеры:

1) arctg√3/3 =

π/6

2) arctg(-1) =

-π/4

Слайд 11

Арккотангенс
у
х
0
π
arcctg а = t
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из

(0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .

arcctg(- а) = π – arcctg а

- а

arcctg(- а)

1) arcctg(-1) =

Примеры:

3π/4

2) arcctg√3 =

π/6

Слайд 12

Формулы корней простых тригонометрических уравнений
1.cost = а , где |а| ≤

или

Частные случаи

1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ

2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ

3)cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ

2.sint = а, где | а |≤ 1

или

Частные случаи

1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ

2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ

3)sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ

3. tgt = а, аЄR

t = arctg а + πk‚ kЄZ

4. ctgt = а, аЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

Слайд 13

Методы решения простейших тригонометрических
уравнений
Простейшие
тригонометрические
уравнения
Sin t=a;
Cos t=a;
где t=f(x)
Разложение
на
множители
Введение новой переменной

Слайд 14

1) cost= - ½;
2) sint = 0;
3) tgt = 1;
t= ±arccos(-1/2)+2πk,

kЄZ
t= ±2π/3+2πk, kЄZ

Частный случай:
t = 0+πk, kЄZ

t = arctg1+πk, kЄZ
t = π/4+πk, kЄZ.

Решение простейших уравнений

Слайд 15

Решение простейших уравнений
tg2x = -1
2x = arctg (-1) + πk,

kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

2) cos(x+π/3) = ½
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

Слайд 16

Другие тригонометрические уравнения
1.Сводимые к квадратным
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx

= p, где |p| ≤1, тогда
a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и
решить простые уравнения.

2.Однородные
1)Первой степени:
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно
не равны нулю, то разделим обе
части уравнения на cosx. Получим:
простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m

2)Второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x.
Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

Слайд 17