Решение нелинейных уравнений

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Решение нелинейных уравнений

Содержание

2. Постановка задачи Пусть требуется решить уравнение Приближенно решить уравнение или вычислить корень с точностью - это
3. Локализация и отделение корня Локализация корней - необходимо определить количество, характер и расположение корней на числовой
4. Локализация и отделение корня Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает
5. Локализация и отделение корня
6. Локализация и отделение корня непрерывная значит корень существует на значит функция монотонная, это обеспечивает единственность корня
7. Схема изучения метода Ограничения Алгоритм Рисунок Правило остановки Скорость сходимости Достоинства и недостатки метода
8. Метод половинного деления Ограничения Нет Алгоритм Строим последовательность вложенных отрезков содержащих корень , где Теорема 3.
9. Метод половинного деления
10. Метод половинного деления Правило остановки Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станем
11. Метод половинного деления Достоинства метода Метод очень прост Не имеет ограничений Легко программируется Недостатки метода Если
12. Метод половинного деления
13. Метод хорд Ограничения. Этот метод может быть использован только в том случае, если функция на отрезке
14. Метод хорд
15. Метод хорд Алгоритм. , если Теорема 4. Если функция непрерывна и выпукла на отрезке, то уравнение
16. Метод хорд
17. Метод хорд При выборе нулевого приближения следует руководствоваться рисунком или следующим правилом:
18. Метод хорд Правило остановки Если , то вычисления можно прекратить, когда выполнено условие В силу выпуклости
19. Метод хорд Скорость сходимости Можно рассчитывать на его быструю сходимости только если функция близка к линейной
20. Метод хорд Достоинства метода При определенных ограничениях имеет неплохую скорость сходимости Недостатки метода Ограничения на свойства
21. Метод хорд
22. Метод хорд
23. Метод Ньютона Ограничения. Те же что и для метода хорд Алгоритм. Выберем далее
24. Метод Ньютона
25. Метод Ньютона Правило остановки То же что и для метода хорд Скорость сходимости. При выборе начального
26. Метод Ньютона Достоинства метода Высокая скорость сходимости Недостатки метода Ограничения на свойства функции Сходимость к корню
27. Метод Ньютона
28. Метод Ньютона
29. Комбинированный метод Поскольку методы касательных и хорд дают приближения один с избытком, а другой с недостатком
30. Комбинированный метод В этом случае можно использовать правило остановки, как в методе половинного деления При этом
31. Комбинированный метод
32. Комбинированный метод
33. Метод итераций Ограничения. Метод итераций применяется при решении уравнений вида: Функция определенная на отрезке называется сжимающей,
34. Метод итераций Теорема 5. Если дифференцируема на отрезке, причем , то она является сжимающей на этом
35. Метод итераций Алгоритм Любое Далее
36. Метод итераций
37. Метод итераций
38. Метод итераций Правило остановки Скорость сходимости Определяется значением
39. Метод итераций Достоинства метода Не накапливается ошибка вычислений. Ухудшение очередного приближения отразится лишь на числе итераций
40. Метод итераций Теорема 7. Пусть дана непрерывно дифференцируема на отрезке функция, причем , тогда для любого
41. Метод итераций
42. Метод итераций Воспользуемся предложенным приемом
44. Скачать презентацию

Слайд 2

Постановка задачи
Пусть требуется решить уравнение
Приближенно решить уравнение или вычислить корень с

точностью - это значит найти число , такое что

Слайд 3

Локализация и отделение корня
Локализация корней - необходимо определить количество, характер и

расположение корней на числовой прямой
Отделение корня - нужно указать отрезок , внутри которого лежит один и только один корень данного уравнения

Слайд 4

Локализация и отделение корня
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и

на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.
Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной (неположительной)

Слайд 5

Локализация и отделение корня

Слайд 6

Локализация и отделение корня
непрерывная
значит корень существует
на
значит функция монотонная,

это обеспечивает единственность корня

Слайд 7

Схема изучения метода
Ограничения
Алгоритм
Рисунок
Правило остановки
Скорость сходимости
Достоинства и недостатки метода

Слайд 8

Метод половинного деления
Ограничения Нет
Алгоритм Строим последовательность вложенных отрезков содержащих корень
,

где
Теорема 3. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности

Слайд 9

Метод половинного деления

Слайд 10

Метод половинного деления
Правило остановки Процесс деления продолжается до тех пор, пока

длина отрезка не станем меньше
Скорость сходимости
Метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем
Это довольно медленно

Слайд 11

Метод половинного деления
Достоинства метода
Метод очень прост
Не имеет ограничений
Легко программируется
Недостатки

метода
Если есть проблемы с отделением корня и в отрезке их несколько, то не понятно к какому сходимся последовательность
Метод не применим к корням четной кратности
Не обобщается на системы уравнений

Слайд 12

Метод половинного деления

Слайд 13

Метод хорд
Ограничения. Этот метод может быть использован только в том случае,

если функция на отрезке не имеет точек перегиба, т.е. постоянна по знаку вторая производная
Алгоритм.
,
если

Слайд 14

Метод хорд

Слайд 15

Метод хорд
Алгоритм.
,
если
Теорема 4. Если функция непрерывна и выпукла на

отрезке, то уравнение имеет на отрезке единственный корень, и последовательность монотонно сходится к нему.

Слайд 16

Метод хорд

Слайд 17

Метод хорд
При выборе нулевого приближения следует руководствоваться рисунком или следующим правилом:

Слайд 18

Метод хорд
Правило остановки
Если ,
то вычисления можно прекратить, когда выполнено условие
В

силу выпуклости функции можно утверждать, что

Слайд 19

Метод хорд
Скорость сходимости
Можно рассчитывать на его быструю сходимости только если функция

близка к линейной
Если на функцию не накладывать ограничений, то метод может проигрывать даже методу половинного деления

Слайд 20

Метод хорд
Достоинства метода
При определенных ограничениях имеет неплохую скорость сходимости
Недостатки метода
Ограничения

на свойства функции
Сходимость к корню с одной стороны
Усложненное правило остановки

Слайд 21

Метод хорд

Слайд 22

Метод хорд

Слайд 23

Метод Ньютона
Ограничения. Те же что и для метода хорд
Алгоритм. Выберем
далее

Слайд 24

Метод Ньютона

Слайд 25

Метод Ньютона
Правило остановки То же что и для метода хорд
Скорость сходимости.

При выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод сходится квадратично, т.е. скорость сходимости велика. Для кратного корня скорость геометрической прогрессии

Слайд 26

Метод Ньютона
Достоинства метода
Высокая скорость сходимости
Недостатки метода
Ограничения на свойства функции
Сходимость к

корню с одной стороны
Усложненное правило остановки

Слайд 27

Метод Ньютона

Слайд 28

Метод Ньютона

Слайд 29

Комбинированный метод
Поскольку методы касательных и хорд дают приближения один с избытком,

а другой с недостатком их часто используют совместно - комбинированный метод. В этом случае получаем систему вложенных отрезков
содержащих корень уравнения.

Слайд 30

Комбинированный метод
В этом случае можно использовать правило остановки, как в методе

половинного деления
При этом использование метода Ньютона позволяет повысить скорость сходимости метода хорд

Слайд 31

Комбинированный метод

Слайд 32

Комбинированный метод

Слайд 33

Метод итераций
Ограничения. Метод итераций применяется при решении уравнений вида:
Функция определенная на

отрезке
называется сжимающей, если существует такая положительная постоянная , что для любых выполняется неравенство

Слайд 34

Метод итераций
Теорема 5. Если дифференцируема на отрезке,
причем , то она является

сжимающей на этом отрезке, и можно взять
Теорема 6. Пусть функция является сжимающей на отрезке и переводит этот отрезок в себя, при всех
. Тогда уравнение на этом отрезке имеет, и притом, единственное решение.

Слайд 35

Метод итераций
Алгоритм
Любое
Далее

Слайд 36

Метод итераций

Слайд 37

Метод итераций

Слайд 38

Метод итераций
Правило остановки
Скорость сходимости Определяется значением

Слайд 39

Метод итераций
Достоинства метода
Не накапливается ошибка вычислений. Ухудшение очередного приближения отразится

лишь на числе итераций
При небольшом значении высокая скорость сходимости
Недостатки метода
Подбор сжимающей функции с небольшим значением
Усложненное правило остановки

Слайд 40

Метод итераций
Теорема 7. Пусть дана непрерывно дифференцируема на отрезке функция, причем

,
тогда для любого , функция
является сжимающей на отрезке,
причем при коэффициент сжатия
принимает минимально возможное значение

Слайд 41

Метод итераций

Слайд 42

Решение нелинейных уравнений

Содержание

Постановка задачиПусть требуется решить уравнениеПриближенно решить уравнение или вычислить корень с

Локализация и отделение корняЛокализация корней - необходимо определить количество, характер и

Локализация и отделение корняТеорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и

Локализация и отделение корня

Локализация и отделение корня непрерывнаязначит корень существует на значит функция монотонная,

Схема изучения методаОграниченияАлгоритмРисунокПравило остановкиСкорость сходимостиДостоинства и недостатки метода

Метод половинного деленияОграничения НетАлгоритм Строим последовательность вложенных отрезков содержащих корень ,

Метод половинного деления

Метод половинного деленияПравило остановки Процесс деления продолжается до тех пор, пока

Метод половинного деленияДостоинства метода Метод очень простНе имеет ограничений Легко программируетсяНедостатки

Метод половинного деления

Метод хордОграничения. Этот метод может быть использован только в том случае,

Метод хорд

Метод хордАлгоритм. ,еслиТеорема 4. Если функция непрерывна и выпукла на

Метод хорд

Метод хордПри выборе нулевого приближения следует руководствоваться рисунком или следующим правилом:

Метод хордПравило остановкиЕсли , то вычисления можно прекратить, когда выполнено условиеВ

Метод хордСкорость сходимостиМожно рассчитывать на его быструю сходимости только если функция

Метод хордДостоинства метода При определенных ограничениях имеет неплохую скорость сходимостиНедостатки методаОграничения

Метод хорд

Метод хорд

Метод НьютонаОграничения. Те же что и для метода хордАлгоритм. Выберем далее

Метод Ньютона

Метод НьютонаПравило остановки То же что и для метода хордСкорость сходимости.

Метод НьютонаДостоинства метода Высокая скорость сходимостиНедостатки методаОграничения на свойства функцииСходимость к

Метод Ньютона

Метод Ньютона

Комбинированный методПоскольку методы касательных и хорд дают приближения один с избытком,

Комбинированный методВ этом случае можно использовать правило остановки, как в методе

Комбинированный метод

Комбинированный метод

Метод итерацийОграничения. Метод итераций применяется при решении уравнений вида:Функция определенная на

Метод итерацийТеорема 5. Если дифференцируема на отрезке,причем , то она является

Метод итерацийАлгоритм ЛюбоеДалее

Метод итераций

Метод итераций

Метод итерацийПравило остановкиСкорость сходимости Определяется значением

Метод итерацийДостоинства метода Не накапливается ошибка вычислений. Ухудшение очередного приближения отразится

Метод итерацийТеорема 7. Пусть дана непрерывно дифференцируема на отрезке функция, причем

Метод итераций

Метод итерацийВоспользуемся предложенным приемом

Похожие презентации

Постановка задачи
Пусть требуется решить уравнение
Приближенно решить уравнение или вычислить корень с

Локализация и отделение корня
Локализация корней - необходимо определить количество, характер и

Локализация и отделение корня
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и

Локализация и отделение корня
непрерывная
значит корень существует
на
значит функция монотонная,

Схема изучения метода
Ограничения
Алгоритм
Рисунок
Правило остановки
Скорость сходимости
Достоинства и недостатки метода

Метод половинного деления
Ограничения Нет
Алгоритм Строим последовательность вложенных отрезков содержащих корень
,

Метод половинного деления
Правило остановки Процесс деления продолжается до тех пор, пока

Метод половинного деления
Достоинства метода
Метод очень прост
Не имеет ограничений
Легко программируется
Недостатки

Метод хорд
Ограничения. Этот метод может быть использован только в том случае,

Метод хорд
Алгоритм.
,
если
Теорема 4. Если функция непрерывна и выпукла на

Метод хорд
При выборе нулевого приближения следует руководствоваться рисунком или следующим правилом:

Метод хорд
Правило остановки
Если ,
то вычисления можно прекратить, когда выполнено условие
В

Метод хорд
Скорость сходимости
Можно рассчитывать на его быструю сходимости только если функция

Метод хорд
Достоинства метода
При определенных ограничениях имеет неплохую скорость сходимости
Недостатки метода
Ограничения

Метод Ньютона
Ограничения. Те же что и для метода хорд
Алгоритм. Выберем
далее

Метод Ньютона
Правило остановки То же что и для метода хорд
Скорость сходимости.

Метод Ньютона
Достоинства метода
Высокая скорость сходимости
Недостатки метода
Ограничения на свойства функции
Сходимость к

Комбинированный метод
Поскольку методы касательных и хорд дают приближения один с избытком,

Комбинированный метод
В этом случае можно использовать правило остановки, как в методе

Метод итераций
Ограничения. Метод итераций применяется при решении уравнений вида:
Функция определенная на

Метод итераций
Теорема 5. Если дифференцируема на отрезке,
причем , то она является

Метод итераций
Алгоритм
Любое
Далее

Метод итераций
Правило остановки
Скорость сходимости Определяется значением

Метод итераций
Достоинства метода
Не накапливается ошибка вычислений. Ухудшение очередного приближения отразится

Метод итераций
Теорема 7. Пусть дана непрерывно дифференцируема на отрезке функция, причем

Метод итераций
Воспользуемся предложенным приемом