Решение задач на проценты

1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад?
Решение. Используя формулу увеличения положительного число на p%, получим, что через год сумма вклада составит 1000*(1+0,01р), а через два года  1000*(1+0,01р)2=1210, т.е. (1+0,01р)2=1,21,    1+0,01р=1,1,       0,01р=0,1, откуда р=10%
Ответ: сумма ежегодно увеличивалась  на 10%.

он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов,  владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?
Решение. Пусть цена билета была А руб. После повышения на 25% цена стала 1,25А, после понижения  цена билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета вернулась к первоначальной, то получим  р*1,25А=А, откуда р=1/1,25 = 0,8, что означает, что новая цена составляет 80% цены после повышения., значит владелец дискотеки  снизил цену на 20%.
Ответ: 20%

теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
Решение. Пусть А количество продукции, выпускаемое предприятием, 0,8А-количество продукции, которое стало выпускать предприятия после уменьшения на 20%. Из условия задачи следует уравнение р*0,8А=А, где р –коэффициент увеличения, откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо увеличить выпуск продукции на 25%.
Ответ: 25%

раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?
Решение. 1) 0,8*120=96(г)-соли в первоначальном растворе;
2) 480*0,2=96(г) соли во втором  растворе;
3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%-процентное содержание соли в получившемся растворе.
Ответ: 32%

230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слитка
Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках.
1) 230+20=250(г)-масса 1 слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1 слитке.
2) 240+60=300(г) –масса 2 слитка, 240/300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке.
Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение
0,92х+0,8(300-х)=0,84*300, откуда х=100
Ответ: 100г.

л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?
Решение. Пусть х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи следует уравнение
0,94(х-1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда х=4,5 л.
Ответ: 4,5 л